分子云中的湍流激荡

中国科学院国家天文台

钱磊

(本文发表于国家天文台公众号，)

“When I meet God, I am going to ask him two questions: Why relativity? And why turbulence? I really believe he will have an answer for the first.”

                                                          —— Werner Heisenberg

摘要：湍流作为经典物理中的重要现象，其规律至今没有被完全理解。湍流普遍存在，和生活、工作和科学研究有紧密联系。凡是和流体有关的地方，很多时候都绕不开湍流。湍流虽乱，却“乱而有序”，这也是吸引众多科学家对其进行研究的原因。分子云作为恒星育婴所，湍流在其中起到了重要作用。湍流不仅可能解释了恒星形成的种子的来源，也可以给出分子云性质的一些信息。我们虽然已经了解了分子云中湍流的一些规律，但我们仅仅看到了冰山一角，还有很多未知等待我们探索。

湍流简述

湍流（turbulence）是经典物理学中最重要的未解决问题之一。公认关于湍流的文字和图像描述可以追溯到达芬奇的著作（图1）。按字面意思，湍流是急流的意思，抓住了湍流的一个特征。湍流以前也称为紊流，字面意思是乱流，也抓住了湍流的一个特征。从表象上看，紊流这个名称更符合实际，而湍流这个名称更加深刻——我们观察到，当流动速度变大到一定程度，就会产生湍流。

图1. 达芬奇著作中描绘的湍流。（来源：Wikipedia）

湍流虽乱，但一方面对我们的工作生活影响很大，另一方面乱中有序，吸引了众多学者对其进行研究。朗道^[1]和钱德拉塞卡^[2]这样的物理和天体物理大家都尝试提出湍流理论。虽然他们的理论有严谨的形式，但最终还是没能正确、完整地描述湍流。

图2. 层流。（来源：《An Album of Fluid Motion》）

在流动速度较小的时候，我们观察到流动是平稳有序的。如果对流体进行部分染色，我们可以看到流动时明显分层的，这种流动称为层流（laminar flow，图2）。当流速增大到一定程度，我们观察到，层流中会出现旋涡，流动变得杂乱无章，看不到明显的分层，这种流动称为湍流。注意到，我们说流动增大到“一定程度”，就会出现湍流，为什么不给个明确的判据，而要用“一定程度”这种模糊的词？因为我们不知道这个判据是什么。虽然一直以来，我们用雷诺数（Reynolds number）$Re\equiv \frac{uL}{\nu}$（代表惯性力和粘滞力的比值）的大小作为层流向湍流转捩的判据，但是我们并不能给出一个精确的数值，大于这个值，湍流就能发生。事实上，虽然目前公认纳维-斯托克斯方程可以完整描述湍流，但是这个方程的一般解的存在性作为克雷数学研究所的七个千禧年问题之一还未得到解决。

虽然湍流的基本理论碰到了很大困难，但湍流的实验、观测、统计、唯象描述以及数值模拟取得了很多进展。其中，最重要和最著名的结论大概就是苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1941年给出的不可压缩湍流（即密度不变、速度场散度为零的湍流）的指数为-5/3的幂律能谱^[3]，$E_k\propto k^{-\frac{5}{3}}$，对应的速度和尺度的关系为$v\propto l^{\frac{1}{3}}$。这个幂律是对于三维各向同性情形，假设能量在一个较大尺度注入，以固定的速率沿尺度从大到小级联传递，在一个较小尺度耗散而得到的。此后的研究给出了其他一些幂律关系，但公认的鼻祖还是柯尔莫哥洛夫的-5/3幂律。对于可压缩湍流，没有简单的规律，但有文献指出，将密度和速度结合起来仍然可以给出一个幂律，$\rho v\propto l^{\frac{1}{3}}$。

不可压缩湍流的简洁性使其在理论和实验研究中有重要价值。而在实际应用，尤其是天体物理学中，可压缩湍流才更符合实际情况。

分子云中的湍流

湍流对于分子云有重要意义。（可压缩）湍流造成的密度涨落产生了密度较高的区域，这些区域可能是云核和恒星形成的种子。观测中发现，只有几十分之一的气体形成了恒星，因为致密气体的比例只有那么高。这些致密气体的形成可能和湍流有密切关系。

观测发现，分子云的谱线宽度通常比热致展宽要大很多。通常认为是分子云中的湍流导致了这种展宽。对众多分子云的观测也发现了分子云线宽$\Delta v$和尺度L之间的一个有趣而重要的关系^[4]，称为拉尔森关系（Larson’s law），以其发现者命名。拉尔森最早发现$\Delta v\propto l^{0.38}$，幂指数0.38接近1/3，大家认为这可能说明分子云中的湍流是不可压缩的。但是后来更多的观测表明$\Delta v\propto l^{0.5}$^[5]，这表明分子云中的湍流是可压缩的。根据线宽估计，分子云中的湍流马赫数可以达到10，对于这么大的马赫数，湍流应该是可压缩的。

由于动态范围（观测区域大小和望远镜最小可分辨尺度之比）有限，早期拉尔森关系的研究无法对单块分子云进行仔细研究，而是对一个分子云样本进行统计。随着观测数据的积累，已经对近邻的一些分子云，例如金牛座分子云、蛇夫座分子云，进行了成图观测，动态范围达到了2000，这使得可以对这些分子云进行“拉尔森关系”的研究，即研究不同尺度上的速度弥散。要进行这项研究，还需要找到流场的标记物。曾经，人们通过一次偶然投放到海洋中的橡胶鸭子对洋流进行了标记（图3）。在分子云中，我们用的是云核。因为是用云核测量速度弥散，所以这种方法叫做云核速度弥散（CVD）。

图3. 掉入大海中的橡皮鸭子可以用来标记洋流。（来源：geogarage.com）

我们的研究发现，对于金牛座分子云，速度弥散和尺度的关系符合拉尔森关系^[6]（Qian, Li, Goldsmith 2012, ApJ, 760, 147; http://nao.cas.cn/xwzx/kydt/201210/t20121017_3659876.html），即$\Delta v\propto l^{0.5}$（但仔细分析可以发现不同尺度似乎有不同的幂指数，背后的原因还值得探讨）。而对于蛇夫座分子云，速度弥散似乎和尺度无关。这是因为天文观测不可避免地受到投影效应的影响，我们观测到的尺度都是投影到天球上的“二维投影尺度”，而湍流的幂律关系中的尺度是三维尺度，当分子云厚度较小时，三维尺度和二维投影尺度相差不大，而当分子云厚度较大时，二者相差很大。所以一个自然的推论是，如果我们在一块分子云中看到速度弥散和二维投影尺度之间满足拉尔森关系，则这块分子云可能是薄的！金牛座分子云（图4）可能就是这样一块薄的分子云^[7]（Qian et al. 2015, ApJ, 811, 71; http://nao.cas.cn/xwzx/kydt/201509/t20150909_4422532.html ），我们对金牛座分子云中B213区域厚度的测量也证实了这一点^[8](Li, Goldsmith 2012, ApJ, 756, 12)。此外，由于分子云可能在一个维度受到压缩，并且存在磁场，分子云中的湍流可能存在各向异性。这可以通过速度弥散沿不同方向的变化趋势进行研究。

图4. 金牛座分子云。（来源：国家天文台）

分子云中的超声速湍流给天文学家造成了很大困扰，因为理论上湍流能量应该很快就耗散掉了。我们能观测到湍流普遍存在，说明一定存在某种能量注入机制。已经提出的可能的能量注入机制包括星系盘的较差转动、引力塌缩以及恒星演化过程中的反馈（例如，星风和外流）。我们的研究发现，恒星演化的反馈过程提供的能量足以维持分子云中的湍流^[9](Li et al. 2015, ApJS, 219, 20; http://nao.cas.cn/xwzx/kydt/201511/t20151104_4453609.html )，但湍流能量注入机制到底为何，还有待进一步研究。一头一尾，说了能量来源，再说说能量的去处，有研究指出，可以通过观测中阶CO转动跃迁看到湍流的耗散^[10]。最近，我们也用云核速度弥散方法估计了金牛座分子云中的湍流耗散率，得到的结果和用数值模拟得到的半解析公式估算的结果一致^[11](Qian et al. 2018, ApJ, 864, 116)。

结语

自达芬奇描述湍流以来已经有近五百年了，自柯尔莫哥洛夫提出-5/3幂律能谱也已经有近八十年了。对湍流的研究仍然处于博物学阶段和唯象学阶段，仍然在收集湍流的标本，寻找这些标本的统计规律，提出湍流的统计理论。要从根本上理解湍流，还需要在基础理论中进行探索，至少首先回答纳维-斯托克斯方程一般解的存在性问题。未来，在基础理论没有大的进展的情况下，最有希望依赖的可能还是不断变得强大的计算机。

另一方面，在分子云的观测中，仍然存在天球投影造成信息不全的问题。精确测量分子云的三维结构和三维速度场是进一步了解分子云中湍流的必由之路。

参考文献

[1] L. D. Landau, E. M. Lifshitz 1987, Fluid Mechanics.

[2] S. Chandrasekhar 1954, The Theory of Turbulence.

[3] A. Kolmogorov 1941, Doklady Akademiia Nauk SSSR, 30, 301

[4] R. B. Larson 1981, MNRAS, 194, 809

[5] P. M. Solomon, A. R. Rivolo, J. Barrett, A. Yahil 1987, ApJ, 319, 730

[6] L. Qian, D. Li, P. F. Goldsmith 2012, ApJ, 760, 147

[7] L. Qian, D. Li, S. Offner, Z. C. Pan 2015, ApJ, 811, 71

[8] D. Li, P. F. Goldsmith 2012, ApJ, 756, 12

[9] H. X. Li, D. Li, L. Qian, D. Xu, P. F. Goldsmith, A. Noriega-Crespo, Y. F. Wu, Y. Z. Song, R. D. Nan 2015, ApJS, 219, 20

[10] A. Pon, D. Johnstone, M. J. Kaufman, P. Caselli, R. Plume 2014, MNRAS, 445, 1508

[11] L. Qian, D. Li, Y. Gao, H. T. Xu, Z. C. Pan 2018, ApJ, 864, 116