[笔记，科普，数学] 素数（185）：丢番图方程 Diophantine equation 的基本概念

傅里叶分析： Fourier analysis

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、丢番图方程

   丢番图方程（Diophantine Equation），是只允许“整数解”的方程。通常是多项式方程，且系数都是整数。

   丢番图方程解的数量主要有三类：

   无解（no solutions），有限个解（only finitely many solutions），无限多个解（infinitely many solutions）

   说明：由于“整数”只有“可数无穷 countably infinite”个，所以丢番图方程解的数量最多也是“可数无穷”个。

二、丢番图方程解，举例

   6x − 9y = 29，无解。

   6x − 9y = 30，与 2x − 3y = 10 一样，有“可数无穷”个解。

   令 t 为任一整数，x = 20 + 3t， y = 10 + 2t 都是它的解。 

   勾股定理（Pythagorean theorem），a² + b² = c²，限定直角三角形所有边长为正整数时，就是丢番图方程求解。

   费马大定理（Fermat's Last Theorem），aⁿ + bⁿ = cⁿ ，也是丢番图方程。这里，x、y、z 都为正整数，正整数 n≥2。

三、1900年希尔伯特第十问题

   丢番图方程可解性的确定 Determination of the solvability of a Diophantine equation.

10. DETERMINATION OF THE SOLVABILITY OF A BIOPHANTINE EQUATION.

   Given a diophantine equation with any number of unknown quantities and with rational integral numerical coefficients : To devise a process according to which it can be determined by a finite number of operations whether the equation is solvable in rational integers.

【机器翻译】10.确定丢番图方程的可解性。

   给定一个具有任意数量未知量和有理积分数值系数的丢番图方程：设计一个过程，根据该过程，可以通过有限次运算来确定方程是否可解为有理整数。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

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[10] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

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