[笔记，科普，数学] 素数（184）：黎曼解析延拓 ζ(s) 函数的零点，有多少个？都在哪里？

傅里叶分析： Fourier analysis

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

   关于黎曼假设，以

   Harold Mortimer Edwards, Jr.. Riemann's Zeta Function [M]. Academic Press, New York San Francisco London, 1974.

   为准。

   下文里的页码，就是该书的页码。

一、黎曼解析延拓的 ζ(s) 函数

图1  Edwards 1974年第 10页局部

图2  Edwards 1974年第 11页局部

图3  Edwards 1974年第 11页局部

二、打听：黎曼解析延拓的 ζ(s) 函数的零点

2.1  平凡零点 trivial zero

   出现在 s = -2, -4, -6, ……

   看上去有“可数无穷 countably infinite”个。

2.2  非平凡零点 non-trivial zero

   设 s = σ + it，目前主流认为非平凡零点处在“临界带 critical strip”内，这里 0 < σ < 1 且 t ≠ 0。

   如果 ρ 是一个非平凡零点，则 1 - ρ ; ρ̅, 1 - ρ̅  都是非平凡零点。

三、打听：平凡零点 non-trivial zero 的数目，是可数无穷多吗？

   网上说：

   非零全纯函数的每个零点都是孤立的，即每个零点周围都存在一个邻域，邻域内没有其它零点。

   由于不可数个点组成的集合中必定存在聚点，而零点都是孤立的，因此这些零点不可能构成不可数集合，所以至多可数。‌‌

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

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[2] 2026-09-11 22:19，[笔记，科普，数学] 素数（182）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第十八步，dJ 的密度

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[3] 2026-09-10 22:48，[笔记，科普，数学] 素数（181）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第十七步，π(x) 的公式

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