[笔记，科普，数学] 素数（182）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第十八步，dJ 的密度

傅里叶分析： Fourier analysis

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

   关于黎曼假设，以

   Harold Mortimer Edwards, Jr.. Riemann's Zeta Function [M]. Academic Press, New York San Francisco London, 1974.

   为准。

   下文里的页码，就是该书的页码。

一、黎曼解析延拓 ζ(s) 第十八步，dJ 的密度

图1  Edwards 1974年第 36页局部

图2  Edwards 1974年第 37页局部

二、Riemann Hypothesis （黎曼假设）到底要什么样的结果？

2.1  Clay Mathematics Institute 的 “Millennium Prize 千禧问题”里的表述

   The distribution of such prime numbers among all natural numbers does not follow any regular pattern.  However, the German mathematician G.F.B. Riemann (1826 – 1866) observed that the frequency of prime numbers is very closely related to the behavior of an elaborate function ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + …  called the Riemann Zeta function. The Riemann hypothesis asserts that all interesting solutions of the equation ζ(s) = 0 lie on a certain vertical straight line.

   到底是什么意思？

   The Riemann hypothesis asserts that all interesting solutions of the equation ζ(s) = 0 lie on a certain vertical straight line.

   黎曼假设断言，方程 ζ(s) = 0 的所有感兴趣的解都位于某条垂直直线上。

   还没有看懂。

2.2  为什么黎曼多次使用 ρ = 1/2 + iα？

   想不明白，不敢乱说。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095

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