为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

   第一条，这一条也是我所喜欢的，是对你所计算的过程有一个清晰的物理图像。

   One way, and this is the way I prefer, is to have a clear physical picture of the process that you are calculating.

—— 费米（Enrico Fermi）

[打听，科普，数学] 素数（76）：解析延拓 analytic continuation 与盲人摸象

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

欧拉乘积： Euler product

几何级数： geometric series

解析延拓： analytic continuation

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

图1  盲人摸象 The-Blind-Men-and-the-Elephant.jpg

https://www.robinage.com/wp-content/uploads/2023/03/The-Blind-Men-and-the-Elephant.jpg  

一、解析延拓的示意图

   对于复数 z 的函数

在不同的展开点展开，可以得到表达式并不相同的幂级数。如下图。

图2  解析延拓的示意图：6个不同展开点的收敛域，未按照真实区域绘制，只是一个示意图

二、盲人摸象

   古代有几个盲人没见过大象，求国王让他们摸一摸。‌‌

   （1）摸到腿的盲人，说大象像柱子，

   （2）摸到象牙‌的，说像蟒蛇，

   （3）摸到鼻子的，说像棍子，

   （4）摸到耳朵的，说像扇子，

   （5）摸到身体的，说像墙，

   （6）摸到尾巴的，说像绳子 。‌‌

   大家争论不休，国王指出他们都没摸到整体，只看到了局部。

三、感慨

   函数  在点 z = 1 以外解析，

   在 6个不同展开点展开，得到 6个不同的幂级数。

   这 6个幂级数的收敛域，可以是有局部重叠的，也可以是完全分离的。

   可以想象，

   在《物理学》里，

   相当于 6个不同的“观察者”。

   每位“观察者”都有自己的局限性，包括观测范围、观测结果的数学公式，完全有可能引起对本来简单的客观规律性的变形或扭曲。如同盲人摸象。

   物理学几种相互作用的统一，到底该怎么办？

问世间，“相等”是何物，直教精神崩溃？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234.  Number 1, February 1998

doi:  10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

[3] 杨正瓴. 第二类计算机构想[J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374.

   doi:  10.3969/j.issn.1673-5692.2011.04.009

   https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-KJPL201104010.htm

   https://www.cqvip.com/doc/journal/39096952?sign=e393c19a2a6472d35076b36cd477ed4251a027690555e726bf401f9af1049cf5&expireTime=1794754726615&resourceId=39096952&type=1

  https://d.wanfangdata.com.cn/periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMwODMxEhFkemt4anNwbDIwMTEwNDAwORoIb2NqdjQ5bmM%3D

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-05-25 23:53，[打听，科普，数学] 素数（75）：解析延拓 analytic continuation

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1536395.html

[2] 2026-05-16 23:42，[笔记，科普，数学] 素数（66）：黎曼ζ函数及其解析延拓

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535137.html

[3] 2026-05-11 21:44，[笔记，科普，数学] 素数（61）：解析延拓 analytic continuation 与两个气象观测站共享数据

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534422.html

[4] 2026-05-10 23:31，[笔记，科普，数学] 素数（60）：解析延拓 analytic continuation 与黎曼ζ函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534267.html

[5] 2024-04-28 22:52，[资源，统一场，P vs NP] 何为相等？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1431879.html

[6] 2026-05-23 22:27，[打听，科普，数学] 素数（73）：高德纳箭号表示法 Knuth Up-Arrow Notation （2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1536130.html

[7] 2026-05-21 23:48，[打听，科普，数学] 素数（71）：忙碌的海狸 Busy Beaver （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535878.html

[8] 2026-05-01 16:35，[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533059.html

[9] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <1027 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[10] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[11] 2022-08-04 14:42，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349942.html

[12] 2010-08-27 09:23，11年前的记忆：人脑复杂性的估计及其哲学意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-356704.html

[13] 2025-06-19 22:48，[资料，科普，汇集] 杨振宁（Chen Ning Yang）老师谈“渗透式”学习

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1490497.html

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