为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

   第一条，这一条也是我所喜欢的，是对你所计算的过程有一个清晰的物理图像。

   One way, and this is the way I prefer, is to have a clear physical picture of the process that you are calculating.

—— 费米（Enrico Fermi）

[打听，科普，数学] 素数（75）：解析延拓 analytic continuation

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

欧拉乘积： Euler product

几何级数： geometric series

解析延拓： analytic continuation

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、解析延拓的基本概念

图1  截图自：数学物理方法（二）——无穷级数、解析延拓及伽马函数 - 北京大学，2021-11-17 18:16:35

图2  截图自：数学物理方法（二）——无穷级数、解析延拓及伽马函数 - 北京大学，2021-11-17 18:16:35

图3  截图自：数学物理方法（二）——无穷级数、解析延拓及伽马函数 - 北京大学，2021-11-17 18:16:35

二、感慨：数学、物理，二者是多么的不同啊！

   两个不同的无穷级数，在相同的收敛区域内，可以是完全等同的。

   我那崩溃的心灵！

问世间，“相等”是何物，直教精神崩溃？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234.  Number 1, February 1998

doi:  10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

[3] 杨正瓴. 第二类计算机构想[J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374.

   doi:  10.3969/j.issn.1673-5692.2011.04.009

   https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-KJPL201104010.htm

   https://www.cqvip.com/doc/journal/39096952?sign=e393c19a2a6472d35076b36cd477ed4251a027690555e726bf401f9af1049cf5&expireTime=1794754726615&resourceId=39096952&type=1

  https://d.wanfangdata.com.cn/periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMwODMxEhFkemt4anNwbDIwMTEwNDAwORoIb2NqdjQ5bmM%3D

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-05-16 23:42，[笔记，科普，数学] 素数（66）：黎曼ζ函数及其解析延拓

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535137.html

[2] 2026-05-11 21:44，[笔记，科普，数学] 素数（61）：解析延拓 analytic continuation 与两个气象观测站共享数据

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534422.html

[3] 2026-05-10 23:31，[笔记，科普，数学] 素数（60）：解析延拓 analytic continuation 与黎曼ζ函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534267.html  

[4] 2024-04-28 22:52，[资源，统一场，P vs NP] 何为相等？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1431879.html

[5] 2026-05-23 22:27，[打听，科普，数学] 素数（73）：高德纳箭号表示法 Knuth Up-Arrow Notation （2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1536130.html

[6] 2026-05-21 23:48，[打听，科普，数学] 素数（71）：忙碌的海狸 Busy Beaver （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535878.html

[7] 2026-05-20 23:30，[打听，科普，数学] 素数（70）：超现实数 surreal number 与数的其它推广（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535716.html

[8] 2026-05-01 16:35，[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533059.html

[9] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <1027 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[10] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[11] 2022-08-04 14:42，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349942.html

[12] 2010-08-27 09:23，11年前的记忆：人脑复杂性的估计及其哲学意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-356704.html

[13] 2025-06-19 22:48，[资料，科普，汇集] 杨振宁（Chen Ning Yang）老师谈“渗透式”学习

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1490497.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！