[打听，数理统计，概率] 将累积分布函数表示成均值、方差、偏度、峰度等的显式数学公式

累积分布函数： cumulative distribution function

偏度： skewness

峰度： kurtosis

显式公式： explicit formula

数理统计： mathematical statistics

概率： probability

样本： sample

   下面的请教问题来自实际问题的需求（数据处理），因此混用《概率论》、《数理统计学》等里面的术语。只能今后陆续将它们严密化。

   实际问题中，几乎总是含有“噪声”、“错误数据”等非理想因素。请您适度注意下面所请教的方法，在未来实际中拟使用时的这些前提。

   在数学的《概率论》里，已知连续型随机变量的概率密度函数（ probability density function, pdf ），通过积分可以得到它的累积分布函数（分布函数, cumulative distribution function, cdf ）。

   直观地，

   由“样本”的统计“直方图 histogram”，也容易得到其“足够精确的”累积分布函数 cdf。

图1  某班学生每周学习《统计学》时间的频率直方图

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=219664&Type=bkzyb&SubID=59824

   反过来，

一、累积分布函数 cdf 可以表示成均值、方差、偏度、峰度等的显式数学公式吗？

   已知该连续型随机变量的均值、方差、偏度（ skewness ）、峰度（ kurtosis ），

   （1）是否可以依据这些统计量，写出该连续型随机变量的“近似”的显式累积分布函数 cdf ？

   （2）这个“近似”的显式累积分布函数 cdf ，与精确的 cdf 之间的误差有多大？

   例如：伽马分布族（gamma distribution）的“偏度”仅取决于其“形状参数 α”；与其“尺度参数 β”无关。

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=231922&Type=bkzyb&SubID=59833

   伽马分布族（gamma distribution）的均值（mean）、方差（variance）、偏度（skewness）、峰度（kurtosis excess）的计算公式为：

https://mathworld.wolfram.com/GammaDistribution.html

二、累积分布函数 cdf 可以表示成“样本矩”、“k阶样本中心矩”的显式数学公式吗？

   ？

   以上，优先考虑“简单”的显式公式（explicit formula），如简单的多项式函数（polynomial function）之类。

   所求教的这些显式公式的目的是用于工程实际问题：简单性第一，准确性第二。

   “只求最快，不求最准。”

参考资料：

[1] 2023-10-18，样本/sample/金勇进、蒋妍，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=237881&Type=bkzyb&SubID=173892

[2] 2023-06-26，直方图/histogram/王会娟，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=219664&Type=bkzyb&SubID=59824

[3] 2022-12-23，样本矩/sample moment/柏杨，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=192542&Type=bkzyb&SubID=61704

[4] 2022-12-23，k阶样本中心矩/sample central moment of order k/周洁，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=231690&Type=bkzyb&SubID=59831

[5] 2023-03-01，数据类型统计描述/statistical description of data type/吴海龙，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=18617&Type=bkzyb&SubID=62230

[6] 2023-12-11，描述统计/descriptive statistics/刘扬，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=51181&Type=bkzyb&SubID=59823

[7] 2023-06-21，气象统计学/climatological statistics/封国林，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=409070&Type=bkzyb&SubID=198711

[8] 2023-04-12，偏度系数/skewness coefficient/尹平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=94939&Type=bkzyb&SubID=124955

[9] 2022-12-23，样本偏度系数/sample skewness/周洁，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=231687&Type=bkzyb&SubID=59831

[10] 2023-05-09，Gamma分布族/gamma distribution/钟威，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=231922&Type=bkzyb&SubID=59833

[11] 2023-12-12，峰度系数/coefficient of kurtosis/关蓉，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=51209&Type=bkzyb&SubID=59824

[12] 2023-12-23，样本峰度系数/sample kurtosis/周洁，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=231686&Type=bkzyb&SubID=59831

[13] Weisstein, Eric W. "Mean." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

https://mathworld.wolfram.com/Mean.html

[14] Weisstein, Eric W. "Variance." From MathWorld--A Wolfram Web Resource

https://mathworld.wolfram.com/Variance.html

[15] Weisstein, Eric W. "Skewness." From MathWorld--A Wolfram Web Resource

https://mathworld.wolfram.com/Skewness.html

[16] Weisstein, Eric W. "Kurtosis Excess." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

https://mathworld.wolfram.com/KurtosisExcess.html

[17] Weisstein, Eric W. "Gamma Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

https://mathworld.wolfram.com/GammaDistribution.html

[18] Gamma-distribution. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Gamma-distribution  

[19] 6. Gamma Function and Related Functions, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Partially Mathcad-enabled), 1972

https://app.knovel.com/web/view/khtml/show.v/rcid:kpHMFFGMT1/cid:kt00A81K71/viewerType:khtml//root_slug:handbook-mathematical/url_slug:gamma-function-related?b-q=Gamma%20Function&include_synonyms=no&s_page_no=0&sort_on=default&view=collapsed&zoom=1&page=1&q=Gamma%20Function

我们以前的同类学术期刊论文：

[1] Zhengling Yang, Zhifeng Duan, Jingjing Wang, Teng Wang, Yanwen Song, Jun Zhang. Quadratic radical function better than Fisher z transformation [J]. Transactions of Tianjin University, 2013, 19(5): 381–384.

doi:  10.1007/s12209-013-1978-8

https://link.springer.com/article/10.1007/s12209-013-1978-8

[2] Zheng-Ling Yang, Yan-Wen Song, Zhi-Feng Duan, Teng Wang, Jun Zhang. New Sigmoid-like function better than Fisher z transformation [J]. Communications in Statistics - Theory and Methods, 2016, 45(8): 2332-2341.

doi:  10.1080/03610926.2013.771750

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2013.771750?journalCode=lsta20

[3] 王晶晶, 杨正瓴. 累积正态分布函数的逼近函数综述[J]. 计算机应用, 2014, 34(S2): 83-84, 90.

doi:  1001-9081( 2014) S2-0083-02

http://www.cqvip.com/QK/94832X/2014A02/663296953.html

https://d.wanfangdata.com.cn/conference/8501053

相关链接：

[1] 2022-06-22，[小结] 我们在概率论、数理统计学方面的主要创新点（和应用）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1344083.html

[2] 2021-07-19，[资料] 时间序列分析与预测的常用误差统计指标

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1296109.html

[3] 2020-08-18，没有真正“小样本”数理统计学的世界，了无生趣

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1246844.html

[4] 2018-08-18，“大数据”时期，更渴望“小样本数理统计学”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1129894.html

[5] 2020-03-26，现实中常见的概率分布

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1225390.html

[6] 2014-03-04，[请教] 相关系数和互信息之间的解析关系

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-773091.html

[7] 2017-03-01，[资源] 数学百科全书和手册

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1036897.html

[8] 2023-04-05，[讨论，擂台] 比真随机数更好的伪随机数（以[0,1] 区间上的均匀分布随机数为例）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1383089.html

[9] 2023-03-31，[小资料，擂台] 随机数，伪随机数，真随机数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1382520.html

[10] 2021-01-30，[再擂台] 最好的100个均匀分布随机数 The best 100 uniformly distributed random numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1269740.html

[11] 2021-01-30，100个均匀分布随机数 100 uniformly distributed random numbers

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1269737.html

[12] 2021-05-10，“最好的均匀分布随机数”的一些说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1285904.html

[13] An explicit analytical estimation of the validity of the Tanimoto similarity by confidence intervals in mathematical statistics [C]. Proceedings of the 2018 13th World Congress on Intelligent Control and Automation: 979-984. (EI).

https://ieeexplore.ieee.org/document/8630700/

[14] 2019-07-16，会议论文公式纠错：Tanimoto similarity 谷本系数的置信区间

http://wap.sciencenet.cn/blog-107667-1189819.html

[15] 2022-06-21，往日（11）：比 Fisher Z Transformation 更好的标准正态分布累积分布erf逼近函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1343914.html

[16] 2022-06-23，往日（11）之二：比 Fisher Z Transformation 更好：细节与相关的历史资料

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1344208.html

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