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也谈卷积---及其在振动、中心极限定理以及更新理论中的应用

已有 9230 次阅读 2011-3-23 23:02 |个人分类:RnR|系统分类:科研笔记| 卷积

卷积应该是一个很容易理解的概念。如果从纯粹数学上讲,可能不容易,但把物理联系起来,就容易了。

在振动学中有一个著名的杜哈美积分(Duhamel's Integral)。讲的是对于受迫振动,我们可以将强迫力时程分解为一系列的脉冲的叠加,如果已知系统在单个脉冲下的响应,并注意到 s 时刻的脉冲只对时间 t > s 的响应有影响,那么整个系统在 t 时刻的响应就等于所有t时刻以前的脉冲各自单独作用下的叠加。因为采用了叠加原理,系统必须是线性的。

用 h(u) 表示系统在单位脉冲作用下 u 时刻的响应。那么 s 时刻的脉冲在系统 t (t > s) 时刻产生的影响就等于 h(t-s),将所有 s (=0~t) 加起来,就得到整个系统在 t 时刻的响应。对于离散时间,就是相加;对于连续时间,变成积分。

这是一个工科学生对卷积的简单理解。

卷积应用于很多学科,下面简单讲两个在概率论中的应用。一个是随机变量的和,另一个是更新过程中的更新定理。

两个随机变量的和的概率分布,可以表达成一个卷积积分。n 个随机变量的和的概率分布,就是 n 重卷积。

更新过程中一个比较棘手却非常重要的量,是在给定时间内事件发生数的平均值 E[N(t)],它也可以表示成它自身与更新间隔时间的概率密度函数的卷积,推导方法,和前面强迫振动是一样的。不过,这个时候人们通常叫它 II 型 Volterra 积分方程。为什么要用一个新名词呢?如果借用前面振动学的概念,是因为这个时候脉冲响应函数和响应函数是同一个函数。

前面几位大侠似乎没有讲到一个问题,即如何处理卷积。实际上,我们很少直接求解卷积。很多时候,我们发现,用 Fourier 或 Laplace 变换是一个更为简单的办法。这主要是因为,采用变换后,卷积变成了代数乘积。在振动学中,脉冲响应函数的变换改称为频响函数,而在概率论中,
概率密度函数的 Fourier 变换称为特征函数,Laplace 变换称为矩生成函数。对于离散时间(时间序列)或离散随机变量,我们多采用它们的生成函数(generating function),在信号处理中,又叫z变换。

正是因为采用了 Fourier 变换,中心极限定理的证明成为一件不是那么难的事情。


严格数学的解释(存在性),请读曹大侠之大话卷积



大话卷积
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3 曹广福 陈筝 yuebeifan

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