最近看姬扬翻译的半导体的故事。这本书很不错，首先原著不错，其次翻译的文字也不错。不过，再好的东西也难免有纰漏。在书的背后，对安德森（anderson）的介绍里，原著作者说他提出了无序系统里迁移率边
（mobility edge）的概念。

其实提出迁移率边这个概念的是莫特（mott）。他跟安德森一起因为在无序系统方面的研究获奖。

Mott是那种能够做简单工作的大师。量子力学教材里的无限深方势阱最早就出现在他写的量子力学教材里。迁移率边是他简单风格的又一体现。

在固体物理和量子力学早期，人们即知道周期势场中的粒子的本征态为bloch波，为周期调制的平面波，平方不可积，称为扩展态。1959年安德森指出，如果引入无序，当无序足够强的时候，粒子可被完全局域。安德森的工作促使人们研究无序系统的能谱。一个自然的想法是，如果无序不够强的话，应该是扩展态和局域态共存。莫特指出，扩展态和局域态在能量上不能有简并，应该存在一个临界值，把二者在能量上分开。这便
是所谓的迁移率边。见下图，两侧阴影部分对应局域态，中间空白部分对应扩展态。

为什么说扩展态和局域态能量上不能简并？莫特的理由很简单：如果一个扩展态和一个局域态存在能量简并的话，那么在任意小的微扰下，他们将按照各50%的比例完全混合，从而都变成扩展态。所以一个扩展态和一个局域态简并的情况对微扰是不稳定的，考虑到一个无序系统的任意性，这种情况应该不会发生。

莫特的论证听起来很有道理。而且，就我们通常所接触的量子力学系统而言，确实不存在扩展态与局域态简并的情况。比如氢原子，所有局域态（也称束缚态）能量为负，所有扩展态能量为正。比如谐振子，干脆不
存在扩展态，所有本征态都是局域态。在比如固体晶格里的缺陷模，它们的能量一般总落在能带外（比如能隙间）。

教科书上诸如此类的例子，相信给大部分人这种印象：连续谱与离散谱绝对不会重合。

那么扩展态和局域态究竟能不能简并？莫特的论证毕竟只是物理学家式的hand waving（有没人能够给这个词找个贴切的中文翻译？）。

是否存在对这个经验的严格的数学证明？答案是，不存在，因为扩展态和束缚态能量可以简并！

事实上，早在1929年，即新量子力学发展的早期（薛定谔方程的提出是在1926年），冯-诺依曼和维格纳就指出并构造了这种可能。他们的想法其实很简单。关键的一点是，绝对不能按照通常的路子由薛定谔方程到本
征态，或者说从外势到本征态，而应该反过来，从本征态到势场。写下薛定谔方程，你很容易发现，可以用本征态和本征能量来表达外势。剩下的问题便是，构造一个平方可积的波函数作为本征态，给它选一个合适的本征能量，使得外势在无穷远处的极限值小于这个能量。做到这点并不难。

冯-诺依曼和维格纳研究这个问题不奇怪。那是在量子力学早期，他们没有我们那些先入为主的经验。所以无知不可怕，可怕的是偏见。
 
那么莫特的论证与冯-诺依曼，维格纳的严格的数学证明有矛盾吗？其实不矛盾。冯-诺依曼和维格纳的构造是一种处心积虑达到的平衡。对他们的势作任何小的扰动，那个能量落在连续谱里的奇异束缚态就消失了。

冯-诺依曼和维格纳的构造的最大的问题其实在于，他们的势非常稀奇古怪，比如有很多振荡。这种人工雕琢的势在现实世界里一般不会发生，所以在他们的文章发表之后相当长一段时间里，物理学家并不关心。1992年，在nature上有个文章声称在半导体超晶格系统里实现了这种奇异束缚态，不过后来人们更多地认为那只是一个通常所见的缺陷模。最近mit声称在光学系统里实现了类似的模式，文章也发表在nature上。

注1：冯-诺依曼对量子力学的数学基础即泛函分析贡献很大。据说希尔伯特空间的一般定义就是他提出的。据说希尔伯特在听冯-诺依曼的课，然后问冯-诺依曼：什么是希尔伯特空间？

注2：曹则贤研究员在物理所公开课里曾讲，量子力学是个本征值问题。量子力学的内容当然远不止这个，但是薛定谔方程的谱问题，确实是个非常宽广深刻的数学领域（在这方面，我心目中的天下第一lieb有杰作无数）。这里有国科大丁亦兵教授翻译的一本相关专著。