最近在用bethe ansatz解一个两粒子的模型时，我们遇到了这样一个有意思的数学问题：

通过严格对角化，我们可以获得波函数的精确解。问题是，这个波函数是否具有bethe ansatz的形式呢？具体而言，这个波函数是否可以写成若干个（在我们的问题中是四个）指数函数的叠加呢？

一个自然的想法是做fourier分解。但是这个路子的缺陷是明显的，因为fourier分解采用的正交归一的基函数是事先给定的，而波函数里涉及到的指数函数的指数因子是比较随机的。Fourier分解也许可以给出几个尖峰，但是仍然不能断定波函数是且仅仅是四个指数函数之和。

更何况，fourier分解采用的基函数是不衰减的，也就是指数为实数。而这里的波函数可能包含衰减的指数函数。

我们后来找到的办法简单而精确。这个办法其实早在1795年就被prony找到了，所以一般称为prony算法。

学过线性代数的人大概都做过这样的习题：有一个递归数列满足

x_{n+2} = x_{n+1} + x_{n}

已知初值x_0和x_1,  求解x_n的表达式。

这类线性迭代问题（也出现在差分方程里）的标准解法是采用转移矩阵框架（transfer matrix formalism）。通过对角化转移矩阵，很容易获得 x_n 的一般表达式------在非简并的情况下------形式为指数函数之和！

所以，线性迭代方程给出指数函数叠加。反过来也成立！如果一个数列是M个指数函数叠加，那么这个数列满足一个长度为M的线性迭代方程！

所以，只需要检验波函数是否满足一个线性迭代方程！

具体而已，找连续2M个数据，构建一个线性方程求解问题，看解是否依赖于这2M个数据的位置就行了。如果解不依赖于位置，那么说明这个波函数是M个指数函数之和；反之，如果解依赖于位置，那么说明波函数不是M个指数函数之和。特别地，如果证实波函数是M个指数函数之和，那么解就确定了一个线性迭代关系，由此可以确定指数函数之指数。

这个算法在信号处理里用得很普遍，但是貌似在physics里还没被用过。做bethe ansatz的人整天跟这类波函数打交道，但是可能因为这个圈子是严重倾向于解析的，所以他们从来没从数值的角度考虑过，所以也没提出这个算法。

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