最近我用到了一个挺妙的小定理，忍不住拿出来跟大家分享一下。说来也挺不好意思的，在熟悉线性代数的人看来，这可能就简单到不值得一提。不过我还是学生，脸皮厚，不怕被认为无知。那我就本着分享的精神接着写了啊。

我前段时间需要证明这样一个问题：有t个大小为N乘N对称的，正定的，实数方阵 $X_1, X_2, ..., X_t%uFF0C$ ，设他们的和为

$Z_t=\sum_{\tau=1}^t X_{\tau},$

那么当t趋于无穷的时候，方阵 $Z_t$  的逆矩阵 $(Z_t)^{-1}$ 中的任意元素是否都趋向于0呢？

直觉上想吧，要是每个 $X_t$ 都是一个大于零的实数（对应正定矩阵），那么如果序列 $X_t$ 的极限不是0，则从 $X_1$ 加和加到 $X_t$ 的值， $Z_t$ ，就会趋向于无穷大（发散级数）。那么 $Z_t$ 的倒数就会趋向于0。

回到线性代数，在线性代数中有没有这样类似的结论呢？我搜了一下，还真有，叫Weyl's inequality。不好意思，有两个Weyl's inequality，一个数论的，一个线性代数的。咱们今天就讨论线性代数的这个。

说有M, H, P三个都是N乘N埃尔米特矩阵（对称矩阵的复数加强版），其中M有特征值如下（不要求正定），

$\mu_1 \ge \cdots \ge \mu_n\,$ ，

H有特征值如下，

$\nu_1 \ge \cdots \ge \nu_n\,$ ，

P有特征值如下

$\rho_1 \ge \cdots \ge \rho_n\,$ ，

那么对任意 $i \,=\, 1,\dots ,n$ 下面这个不等式成立：

$\nu_i + \rho_n \le \mu_i \le \nu_i + \rho_1$ 。

不好意思，楼主我不是学数学的，这个等号存在的条件我还不太清楚。但是我知道如果P是正定矩阵，那么就可以扔掉等号了。我们有，

$\mu_i > \nu_i \quad \forall i = 1,\dots,n.$

这个不等式才是我最想要的，因为我们现在有严格单调增的数列啦。这就是迈向无穷大的重要一步呀。

根据上式，可以看出 $Z_t$ 的每一个特征值都要大于 $Z_{t-1}$ 。在我的问题里面，我能证明 $X_t$ 的特征值不是趋于零（具体就不说了），也就是说当t区域无穷大的时候， $Z_t$ 的每一个特征值都会趋向于无穷。

换言之， $Z^{-1}_t$ 的每一个特征值都趋向于零，吼吼，根据 $Z^{-1}_t$ 的特征值分解，可以看出它的每一个元素都趋向于0。多说一句方便理解，因为特征向量可以归一化，不用担心特征向量变无穷。

证明过程基本上也就这样了。其实就是把一个看起来明显的事实用数学语言表达出来。

这个不等式有用呀，比如说我要分析某个估计器的极限性质（Asymptotic property，就是在样本无限多的时候他能不能收敛到真值，那分析均方误差的时候可能要把一堆 $H^\top\Sigma^{-1}H$ 加在一起，您看这每一个 $H^\top\Sigma^{-1}H$ 不都是正定的么。

类似的，分布式的估计器。就是一个分布式网络（没有数据融合中心），每一个节点都在相互合作，最终的目的是每一个节点都要达到有数据融合中心的精准度。那证明节点的估计值和数据中心的估计值趋于一致，也用的上上面这个东东。

其他的应用我也想不出来了，反正我觉得分析极限特性的时候，如果需要用单调有界定理，那上面这个东西还是不错的。

还有一个推广是关于矩阵的奇异值（singular value）的，因为奇异值本来就是 $A^TA$ 的特征值（复数我不太会，就不写H啦），也是挺自然的推论，我就不多说了，有兴趣的朋友自己看一看就好。

写文章么，就是to the best of my knowledge, 我对这个东西的理解差不多仅限于此了。见笑见笑。

最后还是要讲讲故事【1】。外尔是谁呢？赫尔曼·外尔（Hermann Weyl， 1885-1955）是一位德国数学家，理论物理学家，哲学家。他是希尔伯特的学生，当过苏黎世理工学院数学系的系主任。在那里他和爱因斯坦当过同事，也和薛定谔成为密友。 他在1930年去哥廷根接替了希尔伯特的职位。OMG，我听说欧洲的教授职位是走一个才能上一个，看来此人甚猛呀。纳粹执政之后，由于他妻子是犹太人，1933年他去普林斯顿高等研究院工作，直到1951年退休，并于1955年逝世。

倪琼琳老师写过一篇纪念外尔教授的文章，远比我这三言两语的流水账精彩得多，真的写得很好【2】。

PS：写博文比写论文轻松多了，至少可以东拉西扯，也不用太严谨，Happy。

【1】外尔教授词条的维基百科

【2】倪琼琳老师的《外尔小传》