两个月前，在科学网看到张学文老师的博文，《猜想：高考分数为不同值的学生数量符合gamma分布？》，文中张老师讨论了一个很有意思的问题：获得某分数的人数满足的分布？

我今天想讨论的是另一个相关的问题：  如果认为高考成绩是一个随机变量 $X\in[0,750]" style="font-size:20px;$ ，那么X服从什么分布？

我很早就想写篇博文跟大家讨论高考成绩的分布问题，无奈前段时间博导给的事情有点多，就把这个问题放在一边了。最近这不又到高考的时候了，我想如果能对高考成绩的分布多一些了解，说不定对报志愿能有一些帮助。

先给出结果吧，我在网上搜了一下，因为北京的高考成绩最容易找到，而其中关于2012年的高考成绩分布【1】记录的又最为详细，于是楼主就拿2012年北京理工科高考成绩画了下面这张分布图。

图1.蓝色的直方图是样本的分布，红线是正态分布，绿线是我认为的分布。横轴是考试成绩，纵轴是靠这个成绩的学生占总人数的比例。

为了方便阅读，我先只说我是怎么做的，至于为什么这么做，我会在后面的分析中解释。

首先，从网上拿到的数据也不是特别细，比如【1】只会告诉我600到610这个区间有779个人，但是不会告诉我这些人具体考多少分。所以，我首先要做一点点数据的恢复（重采样）。怎么办呢？我用计算机生成779个均匀分布在600到610这个区间的离散随机数。比如600，600.5，601，。。。609.5。

其次，根据第一步的办法，我得到了43496个样本，于是我画出了这些样本的分布直方图，就是上图中那个蓝蓝的柱状图。因为我做了第一步，所以手里的样本多了很多。反之，如果我不做第一步，直方图就会是一些大块，不容易反映出数据的分布。

第三步，我计算了样本的方差和平均值，用红线画出了如果假设样本服从正态分布，那么理论上样本分布应该满足的形状。它是一个均值为450，标准差为109.5的正态分布。

第四步，其实我内心里不认为样本服从高斯分布，我认为样本应该是服从高斯混合分布。话句话说，我认为考生有不止一类人，有教育条件非常好的重点中学学生，也有条件非常差的农民工学校子弟，还有一部分在中间的普通人。总之，不管怎么分类，学生都不止一类。对于每一类人，他们的考试成绩都是服从相同的正态分布，但是对于不同类的学生，他们的考试成绩服从不同的正态分布。于是，总体的分布是这些正态分布的混合。

做个类比，要统计西安市民的收入分布，可能就不是一个正态分布，而是几个正态分布混在一起。因为有些职业收入高，有些职业收入低，有些职业收入在中间。如果职业差异大，那这个几个分布就更不能用一个正态分布来替代了。

有些读者可能会奇怪，为什么全国人民的身高服从正态分布呢？楼主认为这是因为东北人没有比四川人高得太多【2】。（见谅见谅，我不是区分地域，我就是看了一下统计数据。）因为不同省份的分布也比较接近，所以混在一起看起来说是一个正态分布也无妨。

言归正传。我根据样本经验性的将学生分三类（其实我就是用不同的参数试了好几次，找了一组比较靠谱的结果，说得好听点，呵呵。），比例分别是：

[0.05    0.88    0.07]

期望是：

[195    450    600]

标准差是：

[40    92    33]

可以从上图中明显的看到，绿线和样本的分布更加接近，尤其是两百分左右那个“小山包”，实在是无法用单独的正态分布解释。还有，大家都知道高考分数分布是非对称的，高分段学生会密一些，差一分就差N多人，这是因为有一类学霸考试成绩就不会低于500（第三个高斯分布）。

按我的理解，有时候假设数据服从正态分布并不是很合理。这样做会使问题过于简化，也许会导致后续的分析有失偏颇。比如我很不喜欢有些大学要把学生的成绩“正态化”，甚至用一些奇奇怪怪的公式（一般是一一映射）把本来的分布生生扭曲成“正态分布”，还仅仅是长得像正态分布的分布。

枉我当年还觉得这些公式好厉害，现在看这不就是凑数字，蒙小孩么？是为了好管理么？晕，反正我想不出来这么做的道理在哪里。人家明明就不是正态分布么，强扭的瓜不甜好不好。不过还好貌似现在越来越少的学校做这种事情了。

楼主认为评价学生应该用聚类分析，就是ABCD那种，95和96没有本质区别。如果成绩是分得比较开的高斯多模分布，那我还更容易给学生分类了。

再评论一下高斯混合模型。这个东西用处很广泛，就拿我们实验室的东西来说吧，接收机得到的信号有可能有“多径效应”，就会产生不止一个“钟形曲线”。再比如，有个同学做心电图的信号处理，病人至少可以分成两类，有病的没病的，所以他拿到的心电图，就服从一个混合分布。

我用这个高斯混合模型来描述样本的分布，不是因为我看见了数据，才这么拟合它。在我看到数据以前，我就有理由把成绩分布建模成GMM模型。第一，成绩750分是所有题目得分的和，750很大，根据大数定律，每个学生的成绩都近似是正态分布。第二，学生可以明显的分成若干类，每一类的参数不同。其实这个GMM的背后，是一个贝叶斯分层模型。

最后呢，说实话，这些参数都是我试了几次试出来的，见笑见笑。我这样分类和估计，肯定不是最优了，我只是懒得编优化程序了，就胡乱猜了三类。但是，可以很明显的从图中看出，即使是我瞎猜，用高斯混合模型也比简单的假设成绩服从正态分布要合理得多。打个比方，就算我胡乱找几个数字拿一次函数，二次函数，三次函数拟合数据，可能也比仅仅用直线拟合产生的误差要小。

顺便说一下，我算了K-S检验的P值，用GMM可以把这个值从 $10^{-18}$ 提升到 $10^{-4}$ 。由于时间的关系，样本的似然函数我没算。p值也能反映出得到这组数据的可能性，越大越好。

那么这三类学生占得比例和每类学生分布的参数怎么估计呢？还有，把学生分为几类更加合适呢？这两个问题似乎都没有简单的答案。我知道的有用EM算法做最大似然估计的，也有用蒙特卡洛方法做贝叶斯估计的，都是机器学习的内容。

因为毕竟是博文嘛，我没有解释太多的数学。我本周内会再写一篇博文把这个模型背后的数学尽量解释清楚，包括resampling，分类，优化，估计，KS检验。我厚颜无耻的推荐本科生朋友看我的下一篇博文，因为我刚才说的那些名词似乎都挺有用。

我找数据，编程序，写博文，折腾了一个晚上，如果您觉得我说的有道理，点个赞吧。谢谢啦。

[1]  2012年北京市统考考生分数分布表

[2]  中国各省男女平均身高表