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关于五次方程的一点学习心得

已有 2780 次阅读 2013-3-16 10:16 |个人分类:RnR|系统分类:科研笔记

程老师关于解方程的科普文章很好。虽然我是一个数学外行,读到一半的时候就读不懂了。学过矩阵,但没有学过代数。矩阵与方程的联系没有建立起来,印象中二者唯一的联系是在讲矩阵特征值时讲到。所以,后来程老师在讲用计算增广秩的办法来判断解的正确性时,看得云里雾里。

但是吴老先生与程老师之间的争执似乎还是有点看明白了。

我是这样理解的:
(1)一次方程:$bx+a=0$的解可以有简单解析解:$x=-a/b$.
(2)二次方程:$cx^2+bx+a = 0$的解也有一般解:$x_{1,2}=-b/2c \pm \sqrt{b^2-4ac}$
(3)三次方程:$dx^3+cx^2+bx+a = 0$的根式解也在16世纪中叶由Cardano在Ars Magna这一鸿幅巨著中给出。
那么作为数学解一个很自然的问题是,这种根式解是否通常都能给出?

数学家的结论是上限是四次方程。到了五次方程,就不能找到一般解,尽管特殊情况下的情况仍然许多,但概率为零。

个人觉得,程、吴二先生的争论也许是纯数学与应用数学的分别导致的,尽管程老师自己声称自己的研究是应用数学。

一般来讲,纯数学关心的是一般情况。应用数学关心的首先是手上的问题。具体到五次方程这个问题,纯粹数学家关心的是根式解是否存在,能不能写出来,是否唯一等。应用数学家首先思考的是对于某个具体的五次方程,我是否能找到解;高明的应用数学家在多个特例后会考虑一般情况。

因为这个区别,搞应用的人对纯粹数学的最大批评是后者过于注重一般化问题,以致于在针对实际问题时,经常会有杀鸡用牛刀的感觉。

在这场争论中,如果吴老师声称找到了五次方程的一般根式解,那么用他的公式放到某个具体的方程里试一下就明了。

没有一般根式解,并不代表五次以上方程没有解。在争论中,对定义的理解非常重要。

没有学过实分析的人可能很难理解,为什么概率为零的事件可以有无穷多个





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