昨天是“p日”(http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=279992&do=blog&id=303081)，下午才想起，于是给自己设一个题目：说说它吧。

 

这两天好像研究生要面试了，如果我参加（我不参加）提问，我会顺便问同学：从它你想到什么？

 

也许先会说祖冲之，那是当然的，想起113355也好；不过我想至少还应该想到三角函数，特别是谐振子的周期。只有在分析里，那个数才有比例常数以外的意义。而且，“周期”似乎是它更伟大的意义。

 

在那篇有名的《数学的莫名其妙的效用》里，作者（忘了）开头就举了一个例子：有个人问他朋友做什么，朋友说做人口统计。那人就问，那你干嘛画圆呢？原来他看见p了——这个问题也可以拿来问非数学专业的同学：p是怎么跑到统计里面去的？更具体说，p咋会出现在正态分布里呢？

 

更有趣的例子是Euler公式：e^ip + 1 = 0，大自然最基本的5个数字，竟然有如此的关联，真是太奇妙了。更一般说，exp(iq)是一个相因子，也是电磁场的“规范变换”，因为有了周期性，也才有了量子化。狄拉克的磁单极就是这样导出来的——我还记得第一次在经典电动力学里看到这个东西时的情景。

 

还有一个普通的事实：它是平面三角形的内角和。如果在曲面情形，内角和还要加上三角形所包围的曲率——更一般说，这就是Gauss-Bonnet定理，而它的特例就是在中学里见过的欧拉公式：V – E + F = 2（多面体的顶点数减去棱数加上面数等于2），由此可以证明，在我们生活中的三维空间里，只能存在五种正多面体，就是古人用来解释世界的那五种“柏拉图体”……

 

Gauss-Bonnet定理的推广，更有意思了，推到极致，就是Atiyal-Singer指标定理，它把分析、几何与拓扑都联系起来了，也成了物理学的新工具……

 

 

 

 

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