哥德巴赫猜想证明新思维的综合应用

    之一：《Pn阶准素数模型》揭示了整数序列及其子序列——素数序列和林林总总的合数序列、在整个数轴上的排列规则；给出了素数个数准确值的基本计算式、及其不足近似值的连续函数表达式。是研究“猜想”课题和其它数论课题的理论基础和理论工具。

    它理顺了整数序列各类数的周期性、对称性分布规律（见工具例图1）；并给出了反映这种规律性的 Pn阶准素数数目计算式。由于（1，)内的 Pn阶准素数都是素数，从而该模型也就给出了0到无穷大区间、素数的分布规律。为利用这些分布规律，从素数分布属性的角度、证明哥德巴赫猜想，鉴定了基础。

      例图1：P3 阶准素数第一个周期中各类整数的分布图（其中黑点是准素数点）

    之二：《舍余消筛计算法》是一个以退为进、以直代曲的计算方法。它将素数数目、双素数对数目、这些无法用连续函数表示的离散量，用其能用连续函数表示的下界值取代。开辟了一个利用连续函数之便、研究离散量的有效通道。对于猜想命题而言，仅凭表示2a“1+1”数目下界的连续函数表达式、随 a 之变化趋势，即可辨其真伪。

   Pn阶准素数模型、可以给出小于 x 的素数数目之准确值，从而鉴定了研究的基础。但这个准确值并不能直接用于证明，因为它是一个离散量、不可能表示成为 x 的连续函数，这成为利用连续函数之丰厚研究成果，解决与素数数目这种离散量相关之“猜想”问题的一个潜在关卡。《舍余消筛计算法》就是要通过舍弃余数、消除筛网，推导出一个用 x 的连续函数表达的、素数数目之不足近似值表达式。将其作为逾越上述关卡、定量证明哥德巴赫猜想的理论工具，。

          其实，Pn阶准素数模型本身、就为逾越这个关卡鉴定了基础，因为准素数的分布是周期性的，而且关于周期端点、中点是对称分布的。因此，若限定横坐标 x 只取所有周期端点、中点这些离散坐标值，那么，描点连线所得到的素数数目函数曲线、就是一条斜直线（见例图2红色直线B），其方程是 x 的线性函数，称它为素数数目准确值的轴函数。因为 x 取连续值时，所得的素数数目准确值函数曲线（见例图2蓝色阶梯线A），是缠绕在（B）轴线上的。但由于轴函数在其它任意 x 点上、相对于准确值存在误差，且是一个正负交错误差，所以，它虽然是x的连续函数，但仍不能直接用于证明。

    将轴函数分子中的（Pi+1 -1）、用小于或等于它的Pi取代，一方面减小了轴函数、使该轴线向下偏转、从而减小了轴函数相对准确值的正误差；另一方面约掉了轴函数分母中的 Pi 、从而消掉了Pi筛网；等最后再对偏转后的新轴函数(x/Pn)（见例图2棕红色直线C）取整之后，（n-1）个奇素数Pi筛网就被全消掉了，从而新轴函数的整数部分[x/Pn]（见例图2绿色阶梯线D），在所有点上就都不大于素数数目准确值函数(A)了，[x/Pn]成为了准确值(A)的可靠的不足近似值 。

    又因为 [x/Pn] >（x/Pn - 1）,所以准确值(A)的下界值还可以用连续函数表示为（x/Pn - 1）、再代入 x 和 Pn 间的约束条件又可表示为：。

    同理可得：偶数2a的“1+1”数目下界为：。既是a的连续函数；又是2a“1+1”的数目下界，所以，它是能用于“猜想”证明的可用函数。

例图2：P3阶准素数数目准确值函数A；轴函数B；舍余消筛轴函数C；不足近似值函数D

    之三：《先分后筛、扬长避短》是一个统筹全局、通权达变的解题思路。它充分利用整数具有最简单排列规则之优势，在不破坏该排列规则优势的情况下，既借此完成了偶数之整分割对序列的建立，又借此完成了对该整分割对序列的筛选，具有一蹴而就之效。它将对整分割对的筛选，归结为对整数的筛选，延伸了筛法的应用范围，将其直接应用到了对双素数对的筛选，从而避开了筛法没有给出所筛素数的值之不足。

    整数序列具有最简单的排列规则，利用这种最简单的排列规则，很容易将一个偶数2a分割成为整数分割对，实施分割时，只要将数轴绕a点一对折，就完成了分割、得到了2a的（a+1）对整分割对。下面以偶数44的整数分割对序列为例：

              

                    例图3——偶数44的“整数分割对序列”图 

           （将数轴绕半偶数点22对折，得偶数44的23对整分割对。其中：

         13—31、7—37、—41为素数对；1—43为非素数之准素数对。) 

    偶数2a的这（a+1）对整数分割对，一方面，它们是2a全部的整分割对，2a存在的“1+1”一定在它们之中；另一方面，它们构成的整分割对序列，仍然保持着原来整数序列所具有的、最简单排列规则，所以，先分割丝毫不会扰乱其后筛网对整数序列的筛除，筛网还象数轴未被对折那样筛除即筛掉了所有合数，只要对其再附加上双筛功能，筛一个、株连一个，就将包含合数的整分割对成双成对地全筛掉了，只留下“1+1”分割对。 

    先分后筛之所以很容易达其目的，是因为它能够扬整数具有简单排列规则之长，避素数不具有简单排列规则之短；扬筛法能够计算素数数目之长，避筛法不能给出其所选素数之值之短。反之，假如先筛后分，由于筛出来的素数序列、不再具有简单排列规则，虽然能算出小于2a的素数个数，但既不知道它们是怎样分布的，更不知道它们的大小。怎么能知道、有无之和等于2a 的两个素数呢？可见，“先筛”打乱了简单的排列规则、就阻断了“后分”的途径，从而无法抵达终极目标。

    之四：《双筛法》是对原筛法功能的一个拓展、是对原筛法结果的另外一种数据处理而已、是在原筛法机制基础上附加了一个“株连”功能而已。其目的是：在不扰乱筛法对合数之筛除程序的前提下，同时株连掉所有与合数成对偶的“孤素数”，得到任意偶数“1+1”数目之下界函数。

  “双筛”只是对传统筛法的另外一种数据处理而已。

   原筛法的轴函数为：

   “双筛轴函数”为：    

         比较二者可知，它们的差别仅仅是在其分子中，仅仅是“双筛法”把分子中 i>1的所有(Pi-1)因子、换成了(Pi-2)，使其变小了一点而已，以便保证筛掉每个合数时、株连掉其对偶。二者的分母完全相同，这表明二者的筛网完全相同。所以，其后的舍余消筛计算、及再后的取整计算中，在数学理念和逻辑运算上，原筛法和双筛法这二者都是没有任何差别。

   “双筛轴函数”经过舍余消筛计算、再经过取整计算，便得到了偶数2a的“1+1”数目的不足近似值函数：

                  

    该函数是a的递增连续函数，它证明偶数2a的“1+1”分割对数目之下界，随着2a的增大，只会增大、不会减小。所以，大于64的任何偶数都一定存在着“1+1”分割对。