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“哥德巴赫猜想”证明的“图解法”
要证明任意偶数2a都存在“1+1”,先将数轴绕其上的a点“对折”。以2a=44为例,“对折”图如下图所示:.
该图便立即显示出了偶数2a的全部“分割对”,其中全部“正整数分割对”的通式、可表示为:
2a=(a-j)+(a+j) (j=0、1、2、3、…a) (1)
偶数2a所存在的“1+1”分割对,只能是这(a+1)对正整数分割对中的某几对。从而偶数2a之“1+1”分割对的寻找,可以通过确定式(1)中的唯一变量 j 来完成。
为了方便,我们定义不大于2a平方根的素数为2a的基素数,设它们有n个,将它们从小到大排列,依次用P1、P2、P3、…Pn 表示。即用Pi(i=1、2、3、…n)表示2a的基素数。
由于合数是两个以上素数因子的乘积,那么,根据2a基素数Pi 之定义,不大于2a的合数所含的最小素数因子,必然是不大于Pn 的素数——2a的基素数Pi。由此我们得到以下引理:
引理[1]:不大于2a的整数,只要它不能够被2a的任一个基素数Pi 整除,它就一定是一个素数。
引理[2]:因为一个整数和一个小数的代数和只能是一个小数,所以,两个整数 a 和 j,如果其中一个能被某素数因子Pi 整除,而另外一个不能被该Pi 整除,那么,这两个整数的代数和(a±j),就一定不能够被该Pi 整除。
根据引理[1]、[2]和偶数 2a 与其基素数 Pi 的关系,即可确定出如下类型偶数2a 的“1+1”之一、证明哥德巴赫猜想命题为真命题:
《1》当 a 不能被 n 个基素数 Pi 中任一个整除时,2a的哥德巴赫猜想命题为真命题。因为,这时 a 本身就是素数, 在式(1)中取 j=0 所得的(a)+(a)一定是2a的“1+1”。
《2》当 a 能被 n 个基素数 Pi 都整除时,2a的哥德巴赫猜想命题也为真命题。因为,这时(a±1)均为素数, 在式(1)中取 j=1 所得的(a-1)+(a+1)一定是2a的“1+1”。
《3》当 a 仅不能被n个基素数Pi中的某一个(Pi0)整除时,2a的哥德巴赫猜想命题也为真命题。因为,这时(a±Pi0)均为素数,在式(1)中取j=Pi0 所得的(a- Pi0)+(a+ Pi0)一定是2a的“1+1”。
《4》当 a 不能被n个基素数 Pi 中的Pi1、Pi2… 整除、且(a - Pi1×Pi2×…)>1时,2a的哥德巴赫猜想命题也为真命题。因为,这时(a ±Pi1×Pi2×…)均为素数, 在式(1)中取 j= Pi1×Pi2×… 所得的(a- Pi1×Pi2×…)+(a+ Pi1×Pi2×…)一定是2a的“1+1”。
这里,对于任意偶数 2a 的分类,是按照 a 所含 2a 基素数(Pi)因子的个数而分的。a 含有 Pi 因子的个数越多,(a-j)和(a+j)同为合数或同为素数的几率就越高,2a 的“1+1”对数一般就越多。《1》和《2》已经证明了2a 的“1+1”对数最少、和最多这两种极端的情况下,其“1+1”都是存在的;《3》和《4》又证明了在这两种极端的情况之间,2a 的“1+1”也是存在的。没有被证明的,只有第《4》类中那些不能够满足附加条件(a - Pi1×Pi2×…)>1 的那部分偶数,将没被证明的这部分偶数,单列为第《5》类偶数。
引理[3]:因为,仅当两小数之小数部分相等或者互补时,这两个小数之差或者之和才是整数,一般情况下,两小数之代数和仍然是一个小数,所以,两个整数 a 和 j,如果它们都不能被某素数因子Pi 整除,那么,它们的差与和,很可能也不能被该Pi 整除。
但要证明该“一定能够完成”,即要证明包括第《5》类偶数在内的所有偶数都一定存在着“1+1”,则需要根据双筛法对整分割对的筛除率小于1、存留率大于0、存留对数大于1,这种适用于任意偶数的、定量的方法,进行证明。该证明在《哥德巴赫猜想的证明》等文中,可在《http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=284170》网站查询。
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