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哥德巴赫猜想证明的新思维之四:《双筛法》
从整分割对中,筛除掉含合数的分割对、筛选出“1+1”时,欲将“孤合素分割对”中的那个素数“捆绑”在其合数之上、随合数一体筛掉,需要采用“双筛法”。所谓双筛法,就是当筛网自然筛掉1个合数时,人为地从整数序列中减掉2个整数。以便使与该合数构成整分割对的那个整数、也被株连掉。
实现“双筛”目标的方法很简单,只要将筛法公式中的 1/Pi 改为 2/Pi 即可。这样以来,便将筛掉Pi分之一、保留Pi分之(Pi-1)的原筛法机制,改造成了筛掉Pi分之二、保留Pi分之(Pi-2)的双筛法机制。如此筛除后,不仅“双合数分割对”被成双成对地全部筛掉了;而且“孤合素分割对”也被成双成对地全部筛掉了;再从剩余对数中减去1对,可能还存留着的 1+(2a-1)分割对,也就被删除掉了。最终的剩余的分割对、就只能是2a的“双素数分割对”——“1+1”了。
1."双筛轴函数"
对于具体的偶数2a而言,并非用其每个基素数Pi筛除时都需要双筛,只有用那些不能整除2a的Pi筛除时,才需要双筛。这是因为不能整除2a的Pi,其筛点关于 x=a 点不对称,含这种Pi因子的合数很可能构成“孤合素分割对”;而能整除2a的Pi,其筛点关于 x=a 点一定是对称的,含这种Pi因子的合数,只能构成“双合数分割对”,不可能构成“孤合素分割对”,因而不需要双筛。
可知,能整除2a的基素数Pi越多,2a的“1+1”数目越多。在2a能够被其n个基素数Pi都整除的极端情况下,小于2a而大于Pn的所有素数,都构成了“1+1”分割对,没有一个能构成“孤合素分割对”。反之,能整除2a的基素数Pi越少,2a的“1+1”数目就越少。但又因为对于任意的偶数2a,至少 P1=2 是能够整除它的,所以其“1+1”数目虽然少、但总是存在的。
对于任意的偶数2a而言,为了保证其所有的非“1+1”分割对,一个不漏的被筛除掉,必须将其视为不能够被每个奇基素数 Pi 整除的偶数。对其整分割对、除了用偶基素数 P1 单筛外,用所有(n-1)个奇基素数 Pi 都要进行“双筛”。根据《舍余消筛计算法》中的单筛轴函数(4),将其中的x用偶数2a取代 ;将 i>1 的所有 Pi 分之一、都改为 Pi 分之二,即得到了2a双素数对数目的“双筛轴函数”。即若用 表示2a双素数对数目的“双筛轴函数”则有:
= {2a
(1—1/P1)
(1—2/P2)
(1—2/P3)...
(1—2/Pn)} ÷ 2
. = a (1—1/P1)
(1—2/P2)
(1—2/P3)...
(1—2/Pn)
={a (P1—1)
(P2—2)÷P1}
(P3—2)...
(Pn—2) ÷(P2
P3...
Pn)
. ={a ÷2 }(P3—2)...
(Pn—2) ÷(P2
P3...
Pn)
.
(15)
2."双筛舍余消筛轴函数"
与单筛时“原函数”和“轴函数”的关系相同,2a双素数对数目的“双筛轴函数 ”,只有在2a取 Pn 阶周期端点值时,它与2a双素数对数目是绝对相等、没有误差的。在2a为任意值时,由于式(15)分母中的素数因子P2、P3、... Pn不能被分子的因子约分掉、会产生小数误差,从而使“双筛轴函数”的值与2a双素数对数目真值之间,存在着正负交错的误差。
象单筛时“轴函数”和“舍余消筛轴函数”间的变换那样,利用 时,一定有 (Pi+1-2)大于或者等于 P 的基本属于性,将式(15)分子中的全部 (Pi+1-2) 用不大于它的 Pi 取代,并与分母中的 Pi 相约分,便得到了双筛轴函数的不足近似值函数,该近似值函数的分母中,只含一个奇素数因子 Pn 。由于该近似值函数是通过舍弃 Pi 除(Pi+1-2)的余数、消除了P2 — Pn-1 阶筛网得到的,所以称其为2a双素数对数目的“双筛舍余消筛轴函数”,用
表示,则有:
(16)
(17)
式(17)的 a/2Pn 仅是“双筛轴函数”的不足近似值函数;而其整数部分[a/2Pn] 则是2a双素数对数目的不足近似值函数。这是因为它“舍余”和最后“取整”所产生的相对“双筛轴函数”的负误差,足以淹没“双筛轴函数”相对于2a双素数对数目交错误差。 在“舍余”和“取整”过程中完全消除了产生交错误差的 P2 — Pn 这(n-1)层筛网就是这一结论的证据。各函数之间的关系,完全类同于《舍余消筛计算法》中例图2所显示的关系。
所以,如果用表示2a的双素数对 —“1+1”的数目,则有:
(其中
)(18)
若将限制条件中的 则代入式(18)又得:
(19)
式(18)也可以用 a 的连续函数表示为:
(20)
按照式(18)计算,大于24的偶数2a一定有“1+1”存在;按照式(19)计算,大于64的偶数2a一定有“1+1”存在;按照式(20)计算,大于144的偶数2a才一定有“1+1”存在。实际上,这个起点都不重要,重要的是 是偶数2a的递增函数,它能够证明足够大的偶数一定存在“1+1”。对于较小的偶数,我们总是可以用试算排查结果来证明“1+1”的存在性。《破译哥德巴赫猜想之谜》7.3 中有对于不大于168的偶数之试算排查结果可以参考,它证明不大于168的偶数都存在“1+1”分割对。该排查结果在http://sea3000.net/fengjungang
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