哥德巴赫猜想证明的新思维之三：《先分后筛、扬长避短》

    哥德巴赫猜想的证明，需要按照如下的思路进行，即，需要先将偶数2a分割成为(a+1)对整数分割对；并把每对“整分割对”捆绑成为一个整体；然后用筛法筛选其中的“1+1”。筛除时，如果筛掉了某分割对中的某个整数，就株连删掉其该分割对中的另外一个整数。最终使这些整分割对、有的被成双成对地筛掉了；有的被成双成对地保留了下来。那些被保留下来的整分割对，就是偶数2a的“1+1”分割对。

1.先分后筛的必要性与可行性

    “猜想”的原命题是：任何大于4的偶数，都一定能够写成为两个素数之和。人们习惯将其简记为“1+1”。针对任意偶数 2a（a为任意自然数），要证明“猜想”命题，自然会想到应先找到所有小于2a的正整数；再从这些正整数中筛出其中所有素数；然后再从这些素数中,找到两个之和等于2a的素数对，若找到了，就证明“猜想”命题是成立的。

    但事实上，如果按照这个程序去寻找，除了第一步容易完成之外，第二、第三步都无法完成。这是因为，筛法的理论公式，只能给出小于 2a的素数之个数（下界），并不能够给出这些素数的具体数值。如此以来，由于第二步就没有达到其预定的目标，即没有明确那些数都是素数，第三步就没有了实施的基础。况且，即使对于有限大小的具体偶数，即使用筛法排查出了那些数是素数，而由于这些素数并无简单的排列规律，要找到其中那些和等于偶数2a的素数对，也只能用试算排查的方法。显然，这不是能够证明无穷域所有偶数都存在“1+1”的方法。

    所以，要完成猜想证明，必须充分利用小于2a的整数序列，具有简单排列规则、极容易变换为二者之和等于2a的整分割对序列之特性，先将整数序列变换为整分割对序列，并将每个整分割对“捆绑”成为一个整体。由于整分割对序列、也具有自己简单而严格的排列规则，并未破坏筛法所需要的前提条件。所以，再用筛法筛掉那些其中含有合数的分割对，就暴露出了那些一个合数都没有的分割对，并可利用筛法理论的优势，算出它们的数目（下界）。

    由于正整数除了1之外、不是合数、便是素数。所以，筛除后存留下来的整分割对中，最多只有“1+（2a-1）”这一对不是由两个素数构成的“1+1”，其余的都是“1+1”。只要偶数2a的“1+1”数目不小于1，就证明“猜想”命题是成立的。

2.先分后筛的优势——扬长避短

    上述思路可简称为：《先分后筛、扬长避短》，因为，先分后筛的优势就在于它能够扬长避短，即它能够：（1）杨整数具有简单的、严格的排列规则之长，避素数无简单的排列规则之短；（2）杨筛法理论公式、能算出小于任意2a的素数数目（下界）之长，避开其不能够给出这些素数的值之短。这两项长处相辅相成，便由小于2a的整数序列，变换出了和等于2a的、且仍具有简单排列规则的整数分割对序列；由从整数序列中筛选素数、计算小于2a的素数数目之筛法机制，变换出了从整数分割对序列中筛选双素数对、计算等于2a的双素数对数目之筛法机制。最终在并不一定知道那些数都是素数之情况下，便直接算出了2a的“1+1”数目、完成了“猜想”的证明。

3.2a整分割对序列的数学表达式

    有了有效的思路，实施分割，实际上很容易。可以假想地将数轴绕 x=a点“对折”，那么 x=a 点左右两侧的整数点，便两两重合。而每个重合点上的两个整数，就是二者之和都等于2a的一对对整分割对，它们就构成了是2a的整分割对序列，且它们仍然具有简单而严格的排列规则（见例图——偶数44的“整分割对序列”图）                                          

                   例图——偶数44的“整分割对序列”图          

             （将数轴绕半偶数点22对折，得偶数44的23对整分割对。其中：

         13—31、7—37、—41为素数对；1—43为非素数之准素数对。)

          2a=（a-j）+（a+j)    （j=0,1,2...a)     (11) 

    由式（11）中 j 的取值范围可知,2a非负的整分割对,总共有(a+1)对。其中的“奇分割对”和“偶分割对”间隔出现，而“1+1”就隐身于其奇分割对序列之中。

    当a为奇数时,奇分割对有(a+1)/2对；当a为偶数时,奇分割对则有a/2对。所以，任意情况下，奇分割对数目的下界，为a/2对，计算中，就用这个保守的下界值、作为筛选的基数。

    奇分割对又可分为三类：一是由两个合数构成的“双合数分割对”；二是由一个合数和一个素数构成的“孤合素分割对”；三是由两个素数构成的“双素数分割对”。将每个奇分割对捆绑成为一个整体，用筛法成双成对地淘汰掉含有合数的前二者，就暴露出其中存在着多少对第三类“双素数分割对”。它们就是人们苦苦追寻了两个半世纪的“1+1”。

    其实，式（11）已使《先分后筛、扬长避短》思路之优势、略露端倪。该式将这个头绪比较繁乱的问题，变换成了只有一个独立变量 j 需要确定的、比较单纯的问题。从式（11）可知，只要找到了适当的 j 值，便即刻找到了2a的“1+1”。仅凭式（11），虽然我们并不能证明所有偶数2a都存在着“1+1”，但已可以证明很多类型的偶数2a，它们都确实存在着“1+1”。

4.整分割对序列表达式的初步应用 —— 三类偶数的“猜想”证明

    由准素数、素数的基本属性，我们可以得到如下两条引理：

    1.[0，2a]上的整数，只要它不能够被2a的 n个基素数P1、P2、P3...Pi...Pn（其中）整除，它就是素数。

    2.有两个整数 E 和 F ,如果其一（ 如E ）能够被素数 Pi 整除，而其二（ F ）又不能被该 Pi 整除，则(E-F)和(E+F)就一定不能被该 Pi 整除。

    根据这么两条和式（11），很容易证得下面三类偶数2a，至少各存在一对“1+1”：

  （1）. a 能够被2a的n个基素数Pi中的每一个都整除时，取 j = 1 所得到的（a-1）+（a+1）一定是2a的一对“1+1”；

  （2）. a 除了不能被 Pi0这一个基素数整除外，能够被剩余的（n-1）个基素数Pi整除时，取 j = Pi0 所得的（a-Pi0）+（a+Pi0）一定是2a的一对“1+1”；

  （3）. a 不能被所有的Pi（i=1、2、...n)整除,则a就是素数，取 j=0 所得的（a）+（a）显然是2a的一对“1+1”。

  （4）  当 a 不能被n个基素数Pi中的Pi1、Pi2… 整除、且：

                 （a - Pi1×Pi2×…)>1，

则（a ± Pi1×Pi2×…）即为素数, 取 j=Pi1×Pi2×… 所得的:

（a - Pi1×Pi2×…）+（a + Pi1×Pi2×…），为2a的“1+1”。

    实际上，前四类偶数2a所存在的“1+1”并不止上述这一对，但是，仅此一对就足以证明，哥德巴赫猜想对于这四类偶数都是成立的。

    前四类实际包含了两个极端情况，一个是a能被2a的全部基素数整除；另外一个是a不能被2a的全部基素数整除。

    实际上，能够整除a的较小之奇基素数越多，2a的“1+1”就越多，这是因为，每个Pi在数轴上的筛除点，都是以Pi为步长的等间距点，Pi越小，其在2a之前的筛点数目就越多、筛掉的合数就越多，对存留下来的素数数目之多少的影响力度、就越大。当Pi能够整除a时，其筛点关于a点对称，其两个筛点才只筛掉 1 对整数对；而当Pi不能整除a时，其筛点关于a点不对称，其每一个筛点就要筛掉 1 对整数对。由此又可见，越小的Pi，其能否整除 a ，对2a能够存留下来的“1+1”的数目之多少的影响力度、就越大。所以，上述第（1）类是“1+1”最多的、第（2）类次之、第（4）、（5）类再次之、而第（3）类是“1+1”最少的。既然两个极端情况都已经被证明，未被证明的第（5）类实际上也只是“1+1”数目多少的问题了，不会不存在“1+1”。其证明需要用后面待续的“双筛之筛除率和存留率”进行定量证明。