哥德巴赫猜想证明的新思维之一：《Pn阶准素数模型》

1．基本概念和定义    

传统筛法中，将大于1的自然数分为素数和合数两类，在[0，x]上，设小于x平方根的素数有n个，它们从小到大依次是：P1、P2…Pi…Pn，那么，在[0，x]上，等于m×Pi(i=1、2、3…n； m=2、3、4…)的整数都是合数，筛掉这些合数数,剩余的整数中，除了1之外的都是素数。

这种筛除方法仅仅因为m从2开始才取连续整数，就破坏了Pi筛点的等间距属性，从而就破坏了筛除点和剩余点在数轴上分布的周期性，堵塞了根据筛点和剩余点周期性分布等特性，研究整数域属性的渠道。

若将上述m的取值从0开始取连续整数，定义整数轴上等于m×Pi(i=1、2、3…n；  m=0、1、2、3、4…)的整数为“Pn 阶准合数”，而包括1在内的剩余整数为“Pn阶准素数”。我们就得到了一个在整个数轴上周期性、对称性分布的“Pn阶准素数模型”。

如此以来，每个Pi的整倍数点（亦称为Pi的筛点）都是从0起始的等间距分布点，n 个Pi筛点的公共重叠筛点，就是Pn阶准素数分布周期的周期端点。因此Pn阶准素数的周期长度是：

                                                     （1）

由于筛除前的整数点和n个Pi筛点都是关于周期端点和中点对称分布的，所以筛除后剩余下来的Pn阶准素数点、关于周期端点、中点也是对称性分布的。

在整个数轴上，Pn阶准素数是一个其中既有素数、又有合数、又包含1的混合集合，但在有些区间段上，Pn阶准素数的属性却比较单纯：在[0，1]上的Pn阶准素数，就只有整数1；在（1，   ) 内的Pn阶准素数，全部是素数；在[ ，

]上的Pn阶准素数，既包含了其上的全部素数，又包含了其上的部分合数。

2. Pn阶准素数模型的数学意义

《1》在仅仅研究Pn阶准素数属性时，研究区间[0，x]之长度x与准素数阶次表征量Pn是相互无关的两个独立自变量。可以任取x值和Pn值，研究任意区间上、任意阶次的准素数之有关问题。

由于同一阶准素数在数轴上的分布是周期性的，所以，由Pn阶准素数在其第一个周期上的分布规律，就可以推知它在整个数轴上的分布规律。

比如奇数序列，就是P1阶准素数，由1和3相差2我们就知道任何大小的相邻两个奇数都是相差2的。

又比如P2阶准素数，其周期长度为6，第一个周期只有1和5这两个准素数，第二个周期只有7和11这两个准素数，由此可知，无论多大的P2阶准素数，都是围绕其周期端点孪生的等等。P2阶准素数也因此成为证明孪生素数无穷性的坚实基础。

再比如P3阶准素数，其周期长度为 ，第一个周期的左端点是0点；右端点是30点；其上的筛网见（例图1）；P3阶准素数共有8个，它们是1、7、11、13、17、19、23、29，它们相对于周期中点——15点对称分布。根据筛网、准素数、准合数都是以30为周期而周期性分布，且是关于周期端点、中点对称性分布，则由0-30间的分布，可以推知30-60、60-90、90-120、120-150、……间的分布；由我们熟悉的0点右侧的P3阶准素数，可以推知30、60、90、120、150、……点两侧的P3阶准素数。即由0点右侧半周期的P3阶准素数有1、7、11、13，可推知30点左侧半周期一定有29、23、19、17；可推知30点右侧半周期一定有31、37、41、43；可推知60点左侧半周期一定有59、53、49、47；可推知60点右侧半周期一定有61、67、71、73；……等等。

由此可知，这时的Pn阶准素数模型，就是我们由有限通向无穷的平直绿色通道。

例图1：P3阶第一个周期上的筛网和准素数分布图

       （见http://sea3000.net/fengjungang/2_23.php图①）

《2》在利用Pn阶准素数属性研究有关素数的问题时，（a）将整数1暂且视同为素数；（b）将研究区间[0，x]之长度x限定在    之间即可。这是因为，对于筛选素数而言，Pn+1在数轴上的第一个非重复有效筛点是  点。在此点之前的Pn+1筛点，除了x= Pn+1点是无效筛点外，其余的都是Pn+1与小于它的Pi筛点相重叠的筛点、也是无效筛点。因此，在此点之前的 Pn阶准素数，除1之外，已全部是素数了，不需要再用Pn+1筛除了。例如，x=7×7=49点之前的 P3阶准素数，除1之外全部是素数。而x=11×11之前的P3阶准素数除了1和7的少数个整倍数7×7=49、7×11=77、7×13=91、7×17=119以外，都是素数。所以，前面举例中列出的P3阶准素数，除1和49外都是素数。因此， 点之前的Pn阶准素数，减1、再加上P1、P2  Pi  Pn这n个素数，就是该点之前的全部素数。若用 表示小于x的素数数目；用表示小于x的Pn阶准素数数目，在满足       的前提下，则有:

                  （ ）  （2）

为了今后叙述方便，定义P1、P2  Pi  Pn这n个素数，为Pn阶准素数的“基素数”，也称它们为满足  的x之“基素数”。

由利用Pn阶准素数研究素数时的附加条件 可知，这时，Pn与x不再是两个相互独立的变量，在x增大到每个素数平方的点上时，Pn就要增大一次、准素数的阶次就要向上提升一阶。所以，对于素数研究而言，Pn阶准素数模型又变成一个由有限通向无穷，由低阶通向高阶的阶梯型绿色通道。