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考槃笔记-33-数学、直觉与表象

已有 10098 次阅读 2009-3-4 16:58 |个人分类:天问|系统分类:科研笔记| 数学, 语言, 直觉, 表象

一道数学竞赛题的解法

昨天晚上做题做烦了，抄起一本高等数学竞赛题集随手翻了翻，看到一道有趣的题：比较e^π和π^e的大小^[1]。

我们知道，e和π都是超越数，e和π在数学、物理学中广泛出现反映了世界的某种规律，我正准备八卦它们二者的情史。歪着头想了下，想到一个常见的解决方法：

令ƒ(x)= e^x,g(x)=x^e,则ƒ(x)- g(x)= e^x - x^e，对这个函数求导两三次，讨论其单调性和值域，只要知道e^x - x^e是否在x=π时大于零，就可以判定e^π和π^e的大小了。

后来看书上给出的解法也是这样的。

我先没有这么去求解，我是懒人，觉得这么解麻烦。

考虑到e^π和π^e都大于1，对两个数取常用对数：lne^π=π,而lnπ^e=elnπ。构造k= elnπ/π,只要k>1,则e^π>π^e；反之，k<1, 则e^π<π^e。把等式右边变形得：

k= lnπ/（π/e）；把π换成变量x,则得ƒ(x)= lnx/（x/e）,于是很容易在纸上画出如下图：

在纸上画出这张图只要15秒的时间。图中很容易看出，当x=π时，lnπ<π/e,也就是k<1,于是有e^π>π^e，问题解决。如果这是道选择题或者填空题的话，2分钟就可以拿到8分，显然很划算。如果是一道计算题呢，还得推导推导。

很显然，y=lnx和y=x/e在（0，+∞）内严格单调递增，它们至少有一个交点（e,1）。如果y=x/e正好是y=lnx的切线，那么它们将有且只有这一个交点。

对lnx求导得1/x，于是y=lnx在点（e,1）的切线是y-1=(1/e)(x-e)=>y=x/e。也就是说，y=x/e正好是y=lnx的切线，它们将有且只有一个交点（e,1）。

显然，当x=e²时，y=lnx的y=2，而y=x/e的y=e,显然e>2,那么在区间（e, e²）,一切y=x/e的y值都大于y=lnx的y值。π∈（e, e²），那么lnπ< x/e，于是e^π>π，对比书上给出的解法，要简单些。

直觉与表象

解决这道并不难的题目没什么了不起我没有继续做题，我在思考为什么我会一下子想到这种方法。

一般我们把这种思维状态叫直觉，问题是为什么会产生这样的直觉，不产生那样的直觉？既然直觉在很多时候都管用，在很多时候又容易骗人，怎么培养、训练正确的直觉，怎么检验直觉？

相对来说，最后一个问题最好回答，检验直觉的最好办法就是计算和实验；但其它的问题都不那么好回答。

我看到我书柜里一本李伯聪先生的《选择与建构》^[2]，突然想到书里的一句话：我们对表象的作用不够重视（大意），我产生了另一个“直觉”：也许直觉来自于表象。

什么是表象呢？百度百科的解释很复杂^[3]；而在英文Wiki里，representation^[4]一词在很多领域都是个重要的概念！见下图：

我们这里只关注心理学范畴的表象。要说清楚表象与知觉的区别不是十分容易的事情。简单举个例子。假若你从来没有见过“石头”这种东西，当你第一次见到石头时，石头这个“实体”给你带来的视觉感受就是 “知觉”，它是物体和感觉器官相互作用的结果；而如果你不再看石头了，石头从你视野里已经消失了，但你“眼前”还是清晰地浮现着石头的“尊容”，这个时候的心理感受就是“表象”了。因此，知觉和表象的一个非常大的区别是知觉几乎不依赖于记忆，而表象必须依赖于记忆，哪怕这种记忆并不是完全无差别的。

当心中的表象形成后，以后你再看到石头，你的心理感受恐怕就是“知觉”和“表象”的混合体了。也就是说，你对石头的感受，不但受你当前视网膜的影响，还跟你过去的经验有关。

表象与语言

一些心理学家认为表象是知觉的近亲，另一些心理学家则认为，表象是语言的近亲，我们以命题码而不是模拟码的形式存储表象。所谓命题码，也叫描述表征，它是一种抽象的、象语言一样的表征^[5]。围绕表象有很多有意思的实验，其中最出名的是Shepard的心理旋转实验，Shepard在心理表象等方面的工作使他获得了美国国家科学奖章。见下图：

Shepard和同事请被试看上图所示的图形，图形中一些是对图形a进行旋转后得到的等价图形，而另一些图形则与a是“反”着的，被试被要求回答b-f和a是“正”的还是“反”的。Shepard发现，当倾斜角度从0º向180º变化时，被试判断的时间增加，而当倾斜角度从180º向360º变化时，被试判断的时间则减少了。这个实验证明，被试在完成任务时对物体进行了心理旋转，而这种心理旋转模式在性质上类似于实际物体的物理旋转，相当于物体以一定的角速度（心理旋转速度）旋转，转过的角度和时间是成正比的（180º向360º变化判断时间减少可以理解为被试是反过来旋转的），这个实验有力地证明了表象以模拟码形式（所见即所得）存储。而由Georgopoulos和他同事利用猴子运动皮层的单细胞记录技术表明，心理上的旋转与实际的旋转，有着相同的神经生理机制。也就是说，你看到实际的物体旋转，与你没有看到旋转但意识中模拟旋转，产生的神经生理结果是相同的！

也许，语言和表象的内禀区别就在于编码模式不同，因此，大部分时候，语言的表述需要更多的思考，而表象的产生几乎是即时性的，也就是我们常说的直觉。我们可以以此来理解计算机的缺陷。严格说，计算机的运行基础也是语言，而单靠语言是无法形成表象—直觉的。

目前计算机的一大问题是人脸识别。众所周知，一个正常人能够轻而易举地在几百人中把两个人区分开，只要他们不是双胞胎；但你让人描述两个人各自面部特征，需要花费较长时间，使用较长语言；即使一个最高明的画家王五，没有见过李四，仅靠文学家张三对李四的描述，要把张三画得很像也很困难。也许这可以解释亚辉问老祖的一个问题：大画家是不是一定能把物体画得很“像”？我当时说肯定可以，老祖说不一定，老祖举了梵高的例子，我当时觉得不对，喝酒喝得太多没想到怎么回答，现在我们可以说，单从画的技法（绘画的规则，也算是一种语言）来看，梵高应该能够把物体画得很像，但由于他的直觉-表象实在太强烈，因此他“看”到的物体是知觉和表象混合在一起的，于是，他画出来的物体就“不像”了。

回过头来说计算机的人脸识别。要靠语言去对人脸进行识别，实在太困难。类似地，围棋的智能化也是一个难点，其中不但有变化繁多的原因，还有一个价值判断的原因，围棋的各子价值几乎是全等的，严谨的计算机语言很难对之赋值。据说高手经常通过“棋形”来判断和决策，我怀疑高手对棋形的感受就是一种表象，这种表象是经过长期的训练和实战得来的，很难用严谨的语言体系来描述。

有一种罕见的疾病叫“面孔失认症”^[6]，研究发现，对人脸识别的能力中有与生俱来的部分，比如，婴儿更喜欢看母亲的脸而不是陌生人的；同时，大脑内存在一种叫做“祖母细胞”的神经元网络，面孔识别由许多脑细胞按群疏编码的方式形成功能网络，确认熟悉面孔是大量脑细胞的功能，但每次只有少数神经元以不同方式组合成确认某人的网络。对另一个熟人的确认，只需替换更少数的神经元，形成另一个网络模式。这种从大量同类功能的神经元库中，每次只调动一小部分组成网络的编码方式，称群疏编码(Populationsparse coding) ^[7]。

因此，计算机只会用语言来“思考”问题是一个很大的硬伤，无法通过不同的硬件关联（神经元网络结构）形成表象，只能依靠1010的蛮干，运算速度再高，也形不成直觉，更不要谈想象力和创造力。

甚至，心理学家认为，小学生写作文也是一个构建表象的过程^[8]：

于是，我们回顾文章开头数学题解的过程，应该也是在多次解题中形成了一定的数学图像，那么下次碰到同类题型就能迅速再现表象，从“直觉”上找到答案或解决办法。这种表象配上具有逻辑性的语言（在这里是数学），一般就能解决问题了。

绘画与表象

查找资料的过程中，我发现了很多很有意思的东西。比如这个福柯解读画家委拉斯开兹的《宫娥》^[9]：

“法国社会学家米歇尔·福柯（1926—1984）在其著《词与物：人文科学考古学》^[10]（1966）一书中，详尽地描述了这幅画：画中的画家站在离画板稍后的地方，拿着画笔的手臂向左弯着，朝着调色板，在画板与颜料之间静止不动。我们看到，画家正处于停滞状态，他站在那儿向外看着他的模特。画中的画家正注视我们——观画者所处的空间。我们不能确定他在画什么，因为他的画板背向我们。然而，这幅画的结构把我们固定在画家的凝视中。画家观察的正是我们，这一事实把我们与这幅画结合在一起，我们和画中的模特处于同一位置。

　　在画室的后面有一道特别的光彩，它并不是一幅画，而是一面镜子。它没有呈现画中被呈现的东西，而是呈现出画家正在看的模特，而这些模特也正看着画家。镜子通过把正在被画的人带进画中，起到了一种可见的置换作用。我们在镜子中看到的是国王菲力普四世和他的妻子玛丽雅娜两位人物，他们的确是画家正在作画的模特。

　　在画中，靠着镜子，淡淡的亮光照出一个全身的人像站在门槛上，他的侧面朝着我们。从画中可以看到，他在观看画中的场景，他是观画者。观画的功能没有在镜子中被呈现出来，路过的观画者全神贯注地注视着画中的画家和所有其他人物都在注视的地方。

　　按照福柯的读法，这幅画的主题是表象。所谓表象，是指客观对象不在主体面前呈现时，在观念中所保持的客观对象的形象和客体形象在观念中复现的过程。表象可以是各种感觉的映象，有视觉的、听觉的以及嗅、味觉和触、动觉的表象等等。表象在一般人中均会发生，由于视觉的重要性，大多数人都有比较鲜明的和经常发生的视觉表象。委拉斯开兹通过视觉表象将一个有序的表象世界呈现在我们眼前。没有被表象出来的是表象的功能，是安置这些表象并使他们成为自身客体的、既进行统一又进行被统一的主体。在画中，虽然表象的产生（画家）、被呈现的客体（模特）、表象的观者（观画者）这三种表象功能都成功地表现出来，但不包括行为本身。画家没有在绘画的行为中表现出来。“如果他正处于作画的过程中，他将消失于他作画的大画板框架后。但在画中，他不在工作，他停留在作画过程之间，使他能被我们——观画者看到。”同样，模特不是在作模特的行为中被呈现出来，相反却成了观画者。观画者不再是观察这幅画，而成了被画的客体。于是，这幅画的主要吊诡就表现在“表象表象性行为的不可能表象”。”^[3]

注意这段介绍性文字的最后几句话：“观画者不再是观察这幅画，而成了被画的客体。于是，这幅画的主要吊诡就表现在“表象表象性行为的不可能表象”，再对比毕加索以此为素材创作的《宫娥》^[11] ，在是亦非亦中，又是怎么样的“表象”呢？

康德与拉卡托斯

臺灣師範大學科學教育研究所的楊文金在网上贴出了一份教学资料：觀察與科學創新^[12]，里面有些有意思的东西。

资料里分别引用了康德和拉卡托斯的两句话。康德说“Concept without percept is empty ,Percept without concept is blind”我将之翻译为：缺乏知觉（概念）的观念是空洞的；缺乏观念的知觉是盲目的；而拉卡托斯则说“History of Science without philosophy of science is blind , Philosophy of Science without History of Science is Empty”，我将之翻译为：没有科学哲学的科学史是盲目的，没有科学史的科学哲学是空洞的。翻译得是否到位，请各位高人指正。

我理解观念实际上就是一种表象；而历史不过是人类的集体记忆，因此历史可以看成是“知觉”，哲学则可以看成是“表象”，于是，这两句话可以转录为：没有知觉的表象是空洞的，没有表象的知觉是盲目的。这句话可以这么来理解，知觉是表象的基础，没有知觉作为基础的表象只能是幻想，比如谁也没有见过玉皇大帝，因此，玉皇大帝就必须是沾了仙气的人的表象，这种表象是空洞的。而数学家眼里的世界都是数学（表象），平常人看到的世界就是平常的东西（盲目），正是因为数学家在长期的数学学习中形成了表象才能见到一切是数学，而平常人看到的只是知觉，因此盲目。

康德和拉卡托斯的这种句型我也常用，不过我以前是没读过类似句型的。有可能，“哲学”本身就是人对人类知识体系的一种“表象”，由于人类的知识体系在诞生后就具有一定的“客观实在性”，所以不同人产生类似表象，也就不奇怪了。

资料里还提出了这两个式子，提请大家注意：

1．收斂式思維=典範式思維=直觀式思維=水平式思維=同化=入乎其內

2．發散式思維=描述式思維=解析式思維=垂直式思維=調適=出乎其外

“入乎其内”，在心理学里可以看为是“内化”^[13]，而这个“直观式思维”不知道是不是直觉？

NLP

我同时搜索出了一个久违了的熟悉词汇：NLP^[14][15]。一个NLP的网站^[16]引用了爱因斯坦的一句话：我這種人的本質在於如何思考及思考什麼?引起了我的兴趣。

NLP的英文全称是Neuro-Linguistic Programming，意思是“研究我们的大脑如何工作的学问”，有时候也是Natural Language Processing（自然语言处理）的缩写。我简单看了看，觉得有一定的合理性，没有时间去仔细推敲，先列出来供自己日后学习用，也供大家参考。

注意到百度百科说，NLP的两个创始人“格林德是世界最富盛名的语言学家之一，班德勒是一位数学家、全形心理学家和电脑专家。”也许，逻辑、表象、直觉、语言、数学、大脑、计算机，这些东西注定要纠缠不清了。

不知道你耐着性子读完这篇文章，又能形成什么表象呢？

[1]详见《高等数学竞赛题解析》第二届本科一级竞赛试题

[2] 李伯聪《选择与建构》