博文

[打听，科普，数学] 素数（68）：实数域 real number field以上，还有哪些可以微分、积分的数域？

已有 166 次阅读 2026-5-18 22:51 |个人分类:资料与科普|系统分类:科研笔记

为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

用清晰的思想代替盲目的计算。

Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，科普，数学] 素数（68）：实数域(real number field, field of reals) 以上，还有哪些可以微分、积分的数域？

超现实数： surreal number

实数域： real number field, field of reals

复数域： complex number field

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

欧拉乘积： Euler product

几何级数： geometric series

解析延拓： analytic continuation

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、现有的数

整数 integer、

有理数 rational number、

实数（复数） real number , complex number ，

它们都可以构成“数域 field” 。

此外，还有 1969年 John Horton Conway （1937-12-26 ~ 2020-04-11）发明的

超现实数 surreal number。

二、打听：超现实数 surreal number 和复数 complex number 之间是什么关系？

网传：

In mathematics, the surreal number system is a totally ordered proper class containing not only the real numbers but also infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller in absolute value than any positive real number.

在数学中，超现实数系统是一个完全有序的适当类，不仅包含实数，还包含绝对值大于或小于任何正实数的无穷和无穷小的数。

The surreals also contain all transfinite ordinal numbers; the arithmetic on them is given by the natural operations. It has also been shown (in von Neumann–Bernays–Gödel set theory) that the maximal class hyperreal field is isomorphic to the maximal class surreal field.

超现实主义也包含所有超限序数；它们的算术由自然运算给出。冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论也表明，最大类超实场与最大类超现实场同构。

三、打听：超现实数 surreal number 到底有多大？

是不是还是“实数”多个？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi: 10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234. Number 1, February 1998

doi: 10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-05-17 21:06，[打听，科普，数学] 素数（67）：黎曼假设为什么长期没有得到解决？