Zmn-1228 李鸿仪 : 能否一一对应与元素的排列次序有关吗？再评薛问天的zmn-1225                      

【编者按。下面是李鸿仪先生的评论文章。是对薛问天先生的《Zmn-1225》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

能否一一对应与元素的排列次序有关吗？

再评薛问天的zmn-1225

李鸿仪，Leehyb@139.com

数学界普遍有一种观点:集合A和B，如果B的元素的某种排列方式不能与A一一对应，则改变B的排列方式有可能使得A，B之间建立起一一对应关系。因此，只要找到A，B之间能够建立起一一对应的一种排列方式，就认为A，B能够建立一一对应关系。

这种观点是如此广泛且根深蒂固，以至于如果有谁反对这个观点就可能会被人嘲笑。

可惜的是，从来没有人曾经证明过这一点。该事实充分说明了现代的主流数学界的治学态度是多么地随意而不讲究证明。

相反，要证明这个观点是错误的倒很容易。

命题1:集合A={a1，a2，a3...}与集合B={b1，b2，b3...}能否建立一一对应关系与集合元素的排列次序无关。

证明:假定A与集合B能(或不能)建立如下一一对应关系

a1对b1，a2对b2，a3对b3...

现交换集合B的任意两个元素的排列位置，比如，将b1和b2互换位置:

a1对b2，a2对b1，a3对b3...

则A和B仍然能(或不能)建立一一对应关系。这种交换可以有无限多种，从而产生了无限多种排列方法，而且还可以有多种元素同时交换的情况，但不管哪种排列方法，A和B都能(或不能)建立一一对应关系，所以，集合A和B能否建立一一对应关系与集合的元素排列次序无关。证毕

下面是命题1的另一种证明方法。

证明

首先回顾一一对应关系的定义，两个集合A与B存在一一对应关系，意味着存在一个从A到B的双射函数（既是单射又是满射的函数），即对于集合A中任意不同元素，在集合B中有不同的像（单射要求），并且集合B中的每一个元素都有集合A中的元素与之对应（满射要求）。

假设集合A与集合B之间按照某种顺序已经建立了一一对应关系，记为f，也就是f(a1) = b1，f(a2) = b2，f(a3) = b3等等（这里只是举例一种对应顺序），这个f是满足双射条件的函数。

现在考虑改变集合B元素的排列次序得到集合B'，无论这种排列次序的改变是怎样的，比如交换元素、对多个元素重新排列等等复杂情况，我们要证明A与B'依然能建立一一对应关系。

我们可以构造一个新的函数g，从A到B'，由于B'中的元素就是B中的元素，只是排列次序变了，设B' = {b'1，b'2，b'3...} ，且假设b'1原本是B中的bk1，b'2原本是B中的bk2等等（也就是记录下B中元素到B'中元素的对应变化情况）。

那么定义g(a1) = b'1（对应B中bk1），g(a2) = b'2（对应B中bk2）……，按照这样的定义方式，对于A中不同元素ai和aj（i ≠ j），由于原来的f是单射，而B'中的元素只是B元素的重新排列，所以g(ai) ≠ g(aj)，满足单射条件；又因为B'包含了所有原来B的元素（只是次序不同），所以对于B'中的任意元素b'k，总能在A中找到某个元素am使得g(am) = b'k，满足满射条件。

这就说明g是一个从A到B'的双射函数，即A与B'能建立一一对应关系。

反之，如果原本A和B不能建立一一对应关系，也就是不存在满足双射的函数，那么不管B元素如何改变排列次序成为B'，同样也不可能构造出满足双射的函数来建立A与B'的一一对应关系，因为元素本身没有实质改变，只是次序不同，原本缺失的双射条件不会因为次序改变就自动满足。

综上，集合A和B能否建立一一对应关系与集合的元素排列次序无关。证毕。

用命题1很容易证明以下命题。

命题2:N1={0}UN不能与真子集N={1，2，3...}建立一一对应关系。

证明:将N1写成{1，2，3...0}，显然与N={1，2，3...}不能一一对应:1对1，2对2，3对3...后，N1中的0元素在N中没有原像。根据命题1，把0元素置前时，{0，1，2，3...}也不能与N一一对应，证毕。

无限集合能与其真子集一一对应是现代集合论的基石，也是某些康托迷的精神支柱。该基石一旦被推翻，不管人们愿意不愿意，康托的所谓光辉都消失殆尽，集合论也必将重建。

上述事实进一步说明了现代的主流数学界被康托愚化到了什么程度。

每一个不甘被愚化的数学家，为了你们的子孙后代不被人嘲笑，站出来吧。

每一个有能力有志气的数学家，也站出来吧，用你们的智慧和专业知识，为重建集合论及相关学科做出应有的贡献。

你们的贡献将会被载入史册。

中国大陆也将不再因为在科学理论上的贡献占比太小而被世界嘲笑。

能否一一对应是由集合的性质决定的，

与映射方法无关。评薛问天的Zmn-1225

李鸿仪 Leehyb@139.com

        薛问天本事真是越来越大了，一见苗头不对，马上就创造一个没有证明过的说法，说什么两个集合之间可以用不同方法来建立一一对应，这样，原来不能一一对应的，就可以变成可以一一对应，矛盾就没有了。

        两个集合之间能不能建立一一对应是一个是由两个集合的客观性质决定的，并不是由你采用什么映射方法决定的。也就是说，如果两个集合之间能够建立一一对应，那么任何单射必然都是双射，这样才能保证两个集合的每一个元素都能一一对应。相反，只要有某一个单射不是满射，比如Ⅹ→Y的单射不是满射，那就说明Y中有一部分元素在Ⅹ中是没有原像的，这是一个客观事实，并不会因为改变映射方法而变化。如果能否一一对应因映射方法而变，那研究一一对应又有什么任何科学意义？我既可以让它们能够一一对应，又可以让它们不能一一对应。究竟哪一个是正确的？真理在哪里？

        根据上述叙述，我其实可以给出证明无限集合N1={0}UN不能与其真子集N={1，2，3...}一一对应的第三种证明方法:

        建立N→N1的单射，例如N中的1→N1中的1，N中的2→N1中的2...，显然这是N对N的一一对应，当然是绝对可靠的。但显然这个单射并不是满射:N1中的0在N中无原像。

        至于康托的对应方法N中的1→N1中的0，N中的2→N1中的1...我已经用两种方法证明他是错的。其中数学归纳法虽然只对自然数成立，但是无论是N还是N1，其中的每一个元素都是自然数，既然对每一个自然数都成立，对于两个只包含自然数的集合当然也成立。

        学术讨论是为了追求真理，而不是为了追求谁赢谁输。前者是高尚人群所为，后者是低等人群所为。请薛先生好自为之。

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