Zmn-1229 薛问天: 又暴露了一个由于没有认清无限集合的特性所导致的错误观念。评李鸿仪《1228》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1228》二文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

又暴露了一个由于没有认清无限集合的特性

所导致的错误观念。评李鸿仪《1228》。′

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

李先生没有认清无限集合的特性。在他的脑子里有许多错误的观念。这次又明明白白地，在光无化日之下，暴露出了一个错误观念。他明白地说【如果两个集合之间能够建立一一对应，那么任何单射必然都是双射，这样才能保证两个集合的每一个元素都能一一对应。】这对于有限集合是正确的命题，但对于无限集合，这就是一个彻头彻尾，完完全全错误的命题 。希望李先生先把别的工作都停下来。先把这个错误的观念纠正过来。

无穷集合可能同它的真子集一一对应，这个特性也可以表示为:无穷集合S可能既同某无穷集合A一一对应，又能同A的真子集B一一对应。要知道能同A的真子集B一一对应，就是S到A的单射不是满射从而不是双射。怎么能说【如果两个集合之间能够建立一一对应，那么任何单射必然都是双射，】

这只要通过例子就可看清楚，如N→N是一一对应，y=x(即1对1，2对2，...)，是双射是满射，但y=x+1(即1对2，2对3，...)，就是单射，但不是满射(1无原象)，还有很多单射，如y=x+2(1,2无原象)，y=2x(奇数无原象)，......等都是单射但不是满射。怎么能对天限集合说【如果两个集合之间能够建立一一对应，那么任何单射都是满射】。希望李很快纠正过来。

对于无限集合来说，一一对应是在众多的单射中，只要有一个单射是满射就是一一对应，不能要求所有的单射都是满射！有单射不是满射不能说明【不是一一对应】。

李先生说的下面这句话是胡说的，李说【薛问天本事真是越来越大了，一见苗头不对，马上就创造一个没有证明过的说法，说什么两个集合之间可以用不同方法来建立一一对应，这样，原来不能一一对应的  ， 就可以变成可以一一对应，矛盾就没有了。】

我哪有这样的【说法】，要知道两个集合间存在有不是满射的单射，不能说它【原来不能一一对应】。说它不能一一对应是你李先生的错误认识。

关键是李先生的认识错误。李说【相反，只要有某一个单射不是满射，比如Ⅹ→Y的单射不是满射，那就说明Y中有一部分元素在Ⅹ中是没有原像的，这是一个客观事实，并不会因为改变映射方法而变化。】李错就错在他没有认清【Y中有一部分元素在Ⅹ中是没有原像的】这个事实，只是针对这个不是满射的单射没有原象，而对于另外存在的是满射的单射，则所有元素都有原象。而一一对应的定义是要求存在有一个单射是满射就可以了。是【存在双射】，不是【都是双射】。在逻辑上用的是存在量词，不是全称量词。

李说【如果能否一一对应因映射方法而变，那研究一一对应又有什么任何科学意义？我既可以让它们能够一一对应，又可以让它们不能一一对应。究竟哪一个是正确的？真理在哪里？】

李先生的错就错在这里，他认为【如果能否一一对应因映射方法而变，】【我既可以让它们能够一一对应，又可以让它们不能一一对应。】

在两个集合间【是否存在双射】，【是否存在单射是满射】，怎么能由你来定呢？完全错了，你定不了，这是由两集合的性质决定的。

也就是说在两个集合间【是否存在单射是满射】不是由你李先生可以主观决定的。说什么【我既可以让它们能够一一对应，又可以让它们不能一一对应。】这完全是不符合事实和逻辑的胡言乱语。要知道在两个集合间【是否存在单射是满射】，即两个集合是否一一对应，这完全是由集合的性质决定的。这在基数理论中己研究得相当清楚。任何一个集合都有唯一确定的基数。任何两个集合要么一一对应，基数相等。要么不一一对应，其中的一个可同另一个的子集一一对应，基数较小。这是客观决定的属性，不能由人来随意决定。李先生对这些知识要认真学习和认识。不能再说这些无知的胡话。

至于李先生所说的【给出证明无限集合N1={0}UN不能与其真子集N={1，2，3...}一一对应的第三种证明方法】，就是说在N1和N间存在着不是满射的单射。李先生就由此推出N1同N不能一一对应。显然这是严重的推理错误。

至于说到用数学归纳法的证明，我己经指出了其中的错误，用数学归纳法只是证明了对任何自然数n，所有的有限集合N1[n]同N[n]不一一对应，并没有证明无限集合N1同N不一一对应。

关于李在《1228》提出的【再评】，主要是概念和逻辑的混乱。

李说【命题1:集合A={a1，a2，a3...}与集合B={b1，b2，b3...}能否建立一一对应关系与集合元素的排列次序无关。】

这本不是问题，还要证明吗？【能否建立一一对应关系】是集合间是否存在双射的问题，与【集合元素的排列次序】根本是不同的概念，集合完全可以无序，没有【排列次序】。有序的集合称为【序集】，是一部分特殊的集合。这些概念，查查定义就知根本无关，还要证明什么？

李所说的【集合A和B，如果B的元素的某种排列方式不能与A一一对应，则改变B的排列方式有可能使得A，B之间建立起一一对应关系。】这根本是李先生概念的混乱，【排列方式】就不可能能影响【集合的一一对应】，那里是什么【数学界普遍有一种观点】【如此广泛且根深蒂固】。这根本是李先生概念的混乱的胡乱想像。一一对应取决于是否存在双射。而映射是否是双射，这同集合元素的【排列顺序】毫不相干。李先生竟在【证明】中，大谈集合的排列顺序对映射关系的改变和影响，这纯粹是概念的混乱。虽然结论是【无关】，但谈论【排列顺序】对【映射关系】有影响就是不对的。就是概念的混乱。

更加奇怪的是明知【无关】，却说【用命题1很容易证明以下命题。

命题2:N1={0}UN不能与真子集N={1，2，3...}建立一一对应关系。】

看看证明竟是这样写的。【证明:将N1写成{1，2，3...0}，显然与N={1，2，3...}不能一一对应:1对1，2对2，3对3...后，N1中的0元素在N中没有原像。根据命题1，把0元素置前时，{0，1，2，3...}也不能与N一一对应，证毕。】

李先生就如此明目张胆，明明说排列同一一对应【无关】，却就用N1和N的排列，用它【证明】N1不能与N一一对应。说是【将N1写成{1，2，3...0}，显然与N={1，2，3...}不能一一对应】，N1写成【{0，1，2，3...}也不能与N一一对应，】，李先生，你根据计么说它【不能一一对应】？要知道N1同N的一一对应同N1写成什么样子，怎么排列毫无关系，映射y=x+1是N1到N的单射和满射，就决定了N1同N的一一对应，在这个映射下，N1中的0元素就是N中的1的原像。这有什么可置疑的？集合A和B能否建立一一对应关系与集合的元素排列次序无关。无论N1和N怎么排列，怎么写，映射y=x+1是N1到N的单射和满射就决定了N1同N的一一对应肯定存在。从以上李先生的论述中，可以看出李先生在概念和逻辑上是相当混乱的。这样的推论当然都是错误的。命题1的结论是正确的，但他的推论是错误的。【排列顺序】根本不会改变【映射关系】。命题2的结论和证明都是错误的。

由于李先生的这些推论都是错误的，所以他在文后发布的那些感叹，如【每一个不甘被愚化的数学家，为了你们的子孙后代不被人嘲笑，站出来吧。】【每一个有能力有志气的数学家，也站出来吧，用你们的智慧和专业知识，为重建集合论及相关学科做出应有的贡献。】【你们的贡献将会被载入史册。】，就显得十分十分地可笑。

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