16.4  从(n+1)维到(m+1)阶

“这是你的机器学习系统吗？”
“对，我把数据倒进这一大堆线性代数里，然后到另一边去捡答案。”
“如果答案是错的呢？”
“那我就在这一大堆东西上搅和搅和，直到凑出答案看上去正确就OK了。”

这是目前深度学习工程师调试系统的生动体验。有时候这真像是炼金术瞎蒙，而不是严密科学推理。

因为深度学习系统是如此不可解释，人们不能惯常方式思考程序在做什么，也不能指望通常经验消除过程误差。大家所知道的在经典编程环境中那种调试对于深度学习系统并不适用。相反，现在在深度学习范式中，有大量的试错、再训练和重新测试，都是随机和盲目的。

用深度学习进行参数调试非常困难，深度学习参数集如同“黑箱”，并没有人真正理解这种高阶逻辑轨迹是如何工作的，当然也没有人知道如何修复参数缺陷问题，不知如何收集更多数据和添加更多隐层等等。

更甚的，一个专用领域深度学习模型怎样扩展为更广阔的通用AI模型，似乎永远让人摸不着头脑。

其实，所谓放之四海而皆准的通用性系统，究其根本只有两条原则：

①有共同特征基系（一致性）；

②特征基系是完备的（完备性）。

一、(n+1)维

①希尔伯特的(n+1)维完备梦想破碎

  “Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）
   这是一个世纪前，希尔伯特先生在他退休时演讲的最后六个单词。当年希伯特的演讲所灌制的唱片，现在仍然保存着，我们若仔细听，仍依悉可听到希伯特讲完这句话时，得意的笑声。希尔伯特是名副其实的数学大师，他看待数学的眼光相当深邃前瞻，称为数学界最后一位全才。希尔伯特谱分析将数学两大门派（微积分和线性代数）合为一体、将矩阵维度提升到了连续无穷维空间。著名的希尔伯特空间（量子力学的数学基础）就是以他的名字命名的，他是当之无愧的科学武林大盟主。希尔伯特对整个数学的发展真正举足轻重的是他的公理化理论和“23个数学问题”。希尔伯特梦想将整个数学体系严格公理化，然后用元数学，也就是“证明数学的数学”，来证明整个数学体系是坚实的。为了这个目标，他制定了著名的希尔伯特计划。对着自然科学公理化抱着如此的信心，相信是那个时代极大部份的数学家所共有的，大盟主希伯特清楚且有力的表达了出来：“Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）

  何等的豪言！何等的气魄！何等的梦想！何等的伟大！

  这句话代表了当时几乎所有数学家的心声，他们坚信，只要通过一代又一代人的不断努力，通过形式化数理逻辑推理将其公理化整合到整个数学体系，再通过简单的机械化地判定演算，任何难题，全部真理，都必然能够得以完美地解决。显而易见的，对于任何的形式逻辑系统，如果把原来不完备的n维空间拓展到(n＋1)维、(n＋2)维、(n＋3)维、、、多引入几个逻辑公理，缺什么材料、补足什么材料，只要逐一拓展齐全‘基’零件，系统不就完备了么？

然而，1931年伟大的希尔伯特先生刚刚退休清闲了没几天。有一个叫哥德尔的小混混找上门来，仅仅用了一招，一剑封喉，就击败了武林大盟主希尔伯特。当年哥德尔粉碎希尔伯特梦想的，是一个简洁漂亮的小证明。哥德尔不完备性定理宣判了希尔伯特纲领彻底破产。一举粉碎了数学家两千年来的信念。古今中外多少伟人都赞不绝口地歌颂着数学的完美、严谨与和谐。但是，哥德尔深刻直接揭露了数学的短板、抖出了数学的家丑、动摇了数学的基础，宣告了代数公理体系史无前例的危机。“不完备性定理” 摧毁了《几何原本》两千以来放之四海而皆准的公理信仰，直接把经典数学从天上打趴到地下，星光闪耀的希尔伯特之梦昙花一现地破灭了。伟人们曾经乐观认为找到了基本公理，就是找到了数学的基本、科学的基本、自然的基本，却突然发现这个“基本”只是海市蜃楼。而且，不完备定理似乎告诉人们，我们将永远无法找到解决某些问题的基本零件。连数学这个号称最精确的一切科学的基石尚且如此，其它自然科学知识体系又如何立足呢?

②态叠加原理局限性

教科书说，量子力学基本原理是态叠加原理：

如果进行波函数傅里叶谱分解，得到：

这是连续无穷维希尔伯特空间，存在ℵ1（阿列夫1）个量子本征态。

然而，基于特征元加法的态叠加原理，无论多少维度都仍然只是一阶特征元线性空间，终究无法突破一阶特征元的局限性，所以存在不确定性，导致量子力学涌现出很多一阶逻辑无法自圆其说的荒谬解释。

本文前面详述“不确定性和不完备性本质而言是一回事”。也就是说，哥德尔一剑封喉不但击碎了(n+1)维线性空间是不完备性，也打破了ℵ1维态叠加原理的不完备性。

③量子计算

为什么态叠加原理解释量子态存在局限性呢？

这是因为量子态并非仅仅一阶特征属性。特征元不只有加法，还有乘法。

比如，时间演化算符作为量子态特征元，有：

 即：U(t3,t1) = U(t3,t2 ) ⊗U(t2,t1)

毫无疑问，特征元U(t3,t1) 可以通过特征元U(t3,t2 ) 与特征元U(t2,t1)复合乘积得到。

又比如，根据泡利矩阵，某个轴方向量子有1个上自旋态和1个下自旋态。下意识，我们会认为X、Y、Z的3个轴方向就应该有3个上自旋态和3个下自旋态，合计也就是6个量子态，经典物理学就是这样认为的。

不过，量子物理却推断3个方向自旋存在8个量子态。

这是因为，X、Y、Z三个轴方向自旋复合态，并不是一阶特征元的线性叠加：++，所以3个轴自旋叠加态不表现为特征元加法运算：2+2+2=6

实验证明，X、Y、Z三个轴方向自旋复合态是的三阶张量： ⊗ ⊗ ，所以自旋复合态表现为特征元复合乘法运算：2*2*2=8

正因为量子态存在特征元乘法属性，所以多粒子量子态存在之多的特征属性。

前面说过，量子计算机究竟有什么牛叉叉呢？ 所谓“量子霸权”时代，其实也就是特征元乘法时代。特征元乘法也是量子态基本属性。

二、纠缠的广泛性

①干涉项

很显然，相干涉（+）和纠缠态一样，使得Φ1与Φ2不独立，因此不能直和表达。

如果量子力学某物理量算符以矩阵表达，我们会发现只要不是对角矩阵相乘就会出现干涉项，因为非对角线矩阵元素不为零时，即发生特征纠缠。

②自旋复合态

 ⊗是纠缠态，因为这不是直积。

简要证明：

因为是自旋，如同莫比乌斯带的法向量720度复原，所以具有二阶流形特征属性，同理也是二阶特征属性的。

假若 ⊗是直积，则这是4阶特征属性复合体。但是X、Y、Z的3个轴方向最多只可能存在3阶体元，矛盾。

所以，  ⊗是纠缠态，不是 与的直积。

 ③ 对偶特征

纠缠态的显著特征是既有特征元乘积又有特征态加法：（+）

首先m阶量子本征态复合乘积、然后m阶特征元再n维叠加，这是m阶n维特征的复合张量。无疑的，量子纠缠态是一种普遍存在的高阶特征复合系统。

如果通过连乘“∏”和连加“∑”符号把量子本征态组合在一起，量子复合态普遍形如：∑ X ⊗ Y ⊗ Z

如果有无穷特征元，则：

∑x1⊗x2⊗x3......⊗xm

或

∏(x1+x2+x3......+xn)

也就是，连加和连乘的复合结合体表达：∏∑Xn 或∑∏Xn 

容易验证，上述一般形式的量子复合态，即非直和、也非直积

换句话说，普遍形式下，量子复合态具有广泛意义的纠缠性。

备注：|Sx>|Sy>只是简化了纠缠积的书写，不代表这是直积

纠缠态是广泛而复杂的，难以求解。不过有特殊意义的是，在某种约束条件下，比如能量守恒、动量守恒、角动量守恒、频域和时域样本集守恒、自旋轴分布概率归一守恒、特定条件宇称守恒、素数分圆驻波等等，存在缩并就有对偶（特征值本质就是左右矢缩并），则纠缠态体现对偶特征。这时，对偶空间特征元非局域性同时对偶变化，如同左脚和右脚永远成双成对出现，反对称矩阵。

三、(m+1)阶

本系列文章详细论述了(n+1)维线性空间的不完备性，究其根本是因为度量客观世界特征属性需要m阶n维特征的复合张量空间作为参照系。

如果特征元一个一个加起来(n+1)维无法满足需求，那么我们把某些特征元一个一个乘起来(m+1)阶行不行呢？

①三阶角动量复合体元

大家都知道，任意两个轴方向的角动量不对易：

无论是轨道角动量，或是自旋角动量，对易关系都一样的：

然而，奇怪的是角动量算符平方与任何一个轴方向分量均对易：

并且，很容易发现三个轴方向分量的三阶复合体是对易的：|Sx>|Sy>|Sz>-|Sz>|Sx>|Sy>=0,

即： [  ,] = 0 

以泡利矩阵验算：

灵魂拷问，为什么任意两个轴方向分量复合体不对易，任意三个轴方向分量复合体却是对易的？

合乎逻辑的解释是，由于l形式空间有公式：

因而，三维欧氏切空间对于相应流形中的三阶体元是特征属性完备的，即|Sx>|Sy>|Sz>三阶特征属性参照系对于刻画三阶体元张量完备，因而对易。

而二阶张量|Sx>|Sy>，其共同特征元是二阶属性的，对于三维欧氏切空间相应的三阶体元缺损了一阶特征属性元|Sz>，所以作为参考系不完备，体现为[Sx，Sy]不对易。

②不确定度和对易子

既如此，很容易想到构建完备共同本征态，不仅仅是维度上特征元补缺口，也需要在阶生成元上补缺额。也就是说，完备与否不仅仅对于维度而言，也是对于阶数而言的。完备系统不仅仅需要(n+1)维补齐加法特征要素，也需要在(m+1)阶补齐乘积特征要素。

鉴于通用系统的关键在于度量任意两个观测量的关系，任意两个观测量关系取决于其共同特征元系的完备性，而共同特征元系完备性表现为对易子的值，考虑到对易子和不确定度息息相关，所以合理思路是通过找到对易子补齐不同阶层空间的独立生成元。

如果特征元A与特征元C非线性相关的，且对易子[A,C]=0，则A与C线性无关，得到C与A处于同一阶层线性空间，且C构成该A的线性空间(n+1)维基底；

如果特征元A与特征元E对易子[A,E]=U,U<>0, 则A与E存在不确定度U，则判断U与A不在同一阶层线性空间。即，特征元U对A不是新的特征元维度，而是新的特征元阶数。U对A是另一个(m+1)阶层的特征元。

从而，可以构建(m+1)阶(n+1)维特征属性参考系，这即是深度学习的通用AI模型。