1.       平均涡量与平均亥姆霍兹方程

  前文“充液系统动力学(四)”叙述了椭球腔内理想流体的一种特殊有旋流动，称为均匀涡旋运动。由于椭球腔内流场各点的涡量 Ω 均相同，可作为描述流体运动的离散化变量，连同主刚体的角速度 ω，建立充液系统的动力学方程求解。但这种建模方法的应用范围十分有限，即仅限于椭球形腔体。1974 年德国的普费弗（Pffeifer,F.）教授提出 “准均匀涡旋运动” 概念，可将这种建模方法的适用范围扩大到非椭球腔的更一般情形^[1]。

此方法的特点是将非椭球形腔的流场各点的涡量在腔内平均化，涡量 Ω 的平均值称为平均涡量，记作 Ω_a:                                                                         

                                                                                                              (1)

其中 V 为流场的积分域，也表示充液腔的体积。将平均涡量 Ω_a 代替实际涡量，所描述的流体运动称为准均匀涡旋运动。

前篇博文中曾导出理想流体有旋流动的亥姆霍兹方程：

                                                                                             (2)

其中波浪号表示相对刚体的局部导数，ω 为刚体的角速度。将方程中各项在流场 V 中平均化，流速 v 公式中的涡量 Ω 以平均涡量 Ω_a 代替，写作

                                                 (3)

其中 ▽ϕ 为附加流速，以保证腔壁边界条件得到满足。以腔体中心 O 为原点，建立腔体坐标系 (O-x₁x₂x₃)，以 e_j (j=1,2,3) 为基矢量。将上式代入方程 (2) 的右边，且利用以下关系式：

                                 (4)

得到平均化的亥姆霍兹方程：

                                                                           (5)

        2．轴对称腔情形

  设腔体为相对 x₃ 轴对称的轴对称体，充液刚体的稳态运动是主刚体连同凝固的液体以角速度 ω₀ 绕 x₃ 轴做整体的永久转动。受扰后的刚体角速度 ω 和平均涡量 Ω_a 与稳态运动 ω₀e₃ 之差，以及附加流动速度 ▽ϕ 均为扰动量。仅保留各扰动量的一次项，使用图1所示的柱坐标 r, θ, z，利用高斯定理将式 (5) 化作

                                   (6)

其中 n₃ 为腔壁曲面 Σ 上任意点处的法线 n 相对 x₃ 轴的方向余弦。设 l 为沿腔壁母线 L 的曲线坐标，则有 n₃dl = -dr，可将上式化作

                    （7）

图1  轴对称腔壁上任意点的柱坐标

将式 (4) 代入其中的 ▽ϕ，化作

                                                                                    (8)

参照前篇博文的说明，势函数 ϕ 应等于茹可夫斯基势函数 ψ 与 ω-Ω_a 的点积，即

                                                                                                             (9)

将势函数 ψ 分离变量，表示为

                                                                                          (10)

将哈密顿算子 ▽ 用柱坐标表示                   

                      (11)

利用式 (10),(11) 导出并矢 ▽ψ 在 (O-x₁x₂x₃) 中的坐标矩阵：

                   (12)

将上式代入式 (9) 的积分式，导出

                                                       (13)

再代入式 (9)，简化为

                                                                  (14)

依次代入 (8), (7), (6) 等式，导出

                                                      (15)

其中 Γ 是影响平均涡量变化率的参数，由沿轴对称腔体母线 L 的曲线积分确定。

                                                                                                            (16)

对于母线为任意形状的轴对称腔，其中的参数 Γ 总能用数值方法导出。如腔体具有规则的几何形状，则有可能导出 Γ 的解析式。将式 (15) 代入平均化的亥姆霍兹方程 (5)，得到

                                                                (17)

工程实践中的充液腔，例如航天器的燃料储箱外形多为轴对称。上述轴对称腔体的计算公式具有实际意义。

3．旋转椭球腔情形

对于旋转椭球腔的特殊情形，因流场内各点的涡量 Ω 相同，亥姆霍兹方程 (17) 中的平均涡量 Ω_a 即流体的实际涡量 Ω ，可将下标 a 略去，改为

                                                                (18)

设旋转椭球的曲面方程为

                                                                 (19)

设椭球腔相对 x₃ 轴对称，令 x₁= rcosθ, x₂= rsinθ, x₃= z，λ = a₃/a₁ 为半轴比，将直角坐标变换为柱坐标，代入式 (19)，导出腔体的母线方程：

                                                                                                                 (20)

椭球腔的茹可夫斯基势函数 ψ 已在式 (10) 中给出，改用柱坐标表示为

                                                                                 (21)

其中

                                                                                              (22)

将式 (21), (22) 代入式 (16)，令 V = 4πλa₁³/3，且利用式 (20) 消去 z。对母线的上半段 (dr < 0) 和下半段 (dr > 0) 分别积分，叠加后得到

                                                      (23)

圆柱形腔是存在解析积分的另一特例，其用柱坐标表示的解析形式势函数 ψ 已由茹可夫斯基导出。对于半径为 a，半高为 h 的圆柱腔，解析形式的参数 Γ 为

                                                                                        (24)

其中 ζ_j  (j = 1, 2, 3) 为一阶贝塞尔函数 J₁(x) 的导数零点。

参考文献：

[1]  Pfeiffer,F. Ein Näherungsverfahren für Flüssigkeitsgefüllte Kreisel. Ingenieur Archiv, 1974, 43

 （改写自：王照林，刘延柱. 充液系统动力学. 第3章. 北京：科学出版社，2002

       刘延柱. 陀螺力学(第二版)，第10章. 北京：科学出版社，2009）