liuyanzhu的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/liuyanzhu

博文

充液系统动力学(五):准均匀涡旋运动 精选

已有 4659 次阅读 2021-12-3 14:08 |系统分类:科普集锦

1.       平均涡量与平均亥姆霍兹方程

  前文“充液系统动力学(四)”叙述了椭球腔内理想流体的一种特殊有旋流动,称为均匀涡旋运动。由于椭球腔内流场各点的涡量 Ω 均相同,可作为描述流体运动的离散化变量,连同主刚体的角速度 ω建立充液系统的动力学方程求解。但这种建模方法的应用范围十分有限,即仅限于椭球形腔体。1974 年德国的普费弗(Pffeifer,F.)教授提出 “准均匀涡旋运动” 概念,可将这种建模方法的适用范围扩大到非椭球腔的更一般情形[1]

此方法的特点是将非椭球形腔的流场各点的涡量在腔内平均化,涡量 Ω 的平均值称为平均涡量,记 Ωa                                                                        

                                                准1.png                                                              (1)

其中 V 为流场的积分域,也表示充液腔的体积。将平均涡量 Ω代替实际涡量,所描述的流体运动称为准均匀涡旋运动

前篇博文中曾导出理想流体有旋流动的亥姆霍兹方程:

                                          准2.png                                                   (2)

其中波浪号表示相对刚体的局部导数,ω 为刚体的角速度将方程中各项在流场 中平均化,流速 公式中的涡量 Ω 以平均涡量 Ω代替,写作

                        准3.png                         (3)

其中 ϕ 附加流速,以保证腔壁边界条件得到满足。以腔体中心 O 为原点,建立腔体坐标系 (O-x1x2x3),以 ej (j=1,2,3) 为基矢量。将上式代入方程 (2) 的右边,且利用以下关系式:

                    准4.png             (4)

得到平均化的亥姆霍兹方程:

                                       准5.png                                    (5)


        2.轴对称腔情形

  设腔体为相对 x3 轴对称的轴对称体,充液刚体的稳态运动是主刚体连同凝固的液体以角速度 ω绕 x轴做整体的永久转动。受扰后的刚体角速度 ω 和平均涡量 Ωa 与稳态运动 ω0e之差,以及附加流动速度 ϕ 均为扰动量。仅保留各扰动量的一次项,使用图1所示的柱坐标 r, θ, z,利用高斯定理将式 (5) 化作

               准6.png                    (6)

其中 n3 为腔壁曲面 Σ 上任意点处的法线 n 相对 x3 轴的方向余弦。设 为沿腔壁母线 L 的曲线坐标,则有 n3d= -dr,可将上式化作

            准7.png        (7)



图1  轴对称腔壁上任意点的柱坐标


式 (4) 代入其中的 ϕ,化作

                                      准8.png                                              (8)

参照前篇博文的说明,势函数 ϕ 应等于茹可夫斯基势函数 ψ 与 ω-Ω的点积,即

                                                  准9.png                                                           (9)

将势函数 ψ 分离变量,表示为

                                             准10.png                                             (10)

哈密顿算子 ▽ 用柱坐标表示                   

       准11.png               (11)

利用式 (10),(11) 导出并矢 ψ 在 (O-x1x2x3中的坐标矩阵:

           准12.png        (12)

将上式代入式 (9) 的积分式,导出

                            准13.png                           (13)

再代入式 (9),简化为

                                    准14.png                              (14)

依次代入 (8), (7), (6) 等式,导出

                              准15.png                        (15)

其中 Γ 是影响平均涡量变化率的参数,由沿轴对称腔体母线 的曲线积分确定。

                                                     准16.png                                                       (16)

对于母线为任意形状的轴对称腔,其中的参数 Γ 总能用数值方法导出。如腔体具有规则的几何形状,则有可能导出 Γ 的解析式。式 (15) 代入平均化的亥姆霍兹方程 (5),得到

                                准17.png                                (17)

工程实践中的充液腔,例如航天器的燃料储箱外形多为轴对称。上述轴对称腔体的计算公式具有实际意义。


3.旋转椭球腔情形

对于旋转椭球腔的特殊情形,因流场内各点的涡量 Ω 相同,亥姆霍兹方程 (17) 中的平均涡量 Ω即流体的实际涡量 Ω ,可将下标 略去,改为

                                准18.png                                (18)

设旋转椭球的曲面方程为

                               准19.png                                  (19)

设椭球腔相对 x轴对称,令 x1= rcosθ, x2= rsinθ, x3= zλ = a3/a1 为半轴比,将直角坐标变换为柱坐标,代入式 (19),导出腔体的母线方程:

                                                     准20.png                                                            (20)

椭球腔的茹可夫斯基势函数 ψ 已在式 (10) 中给出,改用柱坐标表示为

                                           准21.png                                      (21)

其中

                                              准22.png                                                (22)

将式 (21), (22) 代入式 (16),令 = 4πλa13/3,且利用式 (20) 消去 z。对母线的上半段 (d< 0) 和下半段 (d> 0) 分别积分,叠加后得到

                       准23.png                               (23)

圆柱形腔是存在解析积分的另一特例,其用柱坐标表示的解析形式势函数 ψ 已由茹可夫斯基导出。对于半径为 a,半高为 的圆柱腔,解析形式的参数 Γ 

                                           准24.png                                             (24)

其中 ζj  (= 1, 2, 3) 为一阶贝塞尔函数 J1(x) 的导数零点。


参考文献

[1]  Pfeiffer,F. Ein Näherungsverfahren für Flüssigkeitsgefüllte Kreisel. Ingenieur Archiv, 1974, 43


 (改写自:王照林,刘延柱. 充液系统动力学. 第3章. 北京:科学出版社,2002

       刘延柱. 陀螺力学(第二版),第10章. 北京:科学出版社,2009)









https://blog.sciencenet.cn/blog-3452605-1315004.html

上一篇:充液系统动力学(四):均匀涡旋运动
下一篇:充液系统动力学(六):欧拉情形的定点运动

4 杨正瓴 王安良 訚耀保 胡大伟

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-1-26 02:08

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部