1981年，文革结束后的拨乱反正期间，交大接待国外学者的学术访问开始不久。得悉美国斯坦福大学的力学教授凯恩 (Tomas R. Kane) 将访问交大，要笔者参加接待。由于文革期间学术交流完全断绝，关于凯恩教授的情况一无所知。临时抱佛脚钻进图书馆查阅文献，查到的文章长长一大串，笔记写了一大本。按照他的愿望，组织了为期近一周的学术讲座。预先通报了兄弟院校，不仅本市的复旦、同济的老师，北大力学系也来了两位老师听讲（图 1）。

图 1  1981 年凯恩访问上海交大

（左起：林栋梁副校长、凯恩、笔者）

讲座开始的第一天，教室内座无虚席。凯恩的开场白十分有趣且富有戏剧性。他先用投影仪放了一张多自由度机构的理论力学习题，然后给出用拉格朗日方程解题的过程和结果，数学公式写满了一张 A4 纸。然后用一把剪刀从那张纸剪下一小条，宣布这是用凯恩方法的解题结果。一手握大纸曰 “ Lagrange equation ” , 另一手握小纸曰 “ new equation ”，全场为之一震。拉格朗日方程在理论力学课程里的崇高地位岂容贬低？听众强烈的好奇心被激将起来，赶紧竖起耳朵听讲。

凯恩方法讲座结束后，国内的力学界掀起了一阵讨论热潮。学术期刊上关于凯恩方法的研究和应用的论文不断涌现，也成为力学专业研究生硕士论文的热门课题之一。学术界众说纷纭，有认为是建模方法的重大革新，也有认为只不过是阿佩尔方程另一种表现形式而已。在笔者看来，凯恩基于广义速率的建模方法确实来自阿佩尔方程，但他所创造的特殊方法使计算工作量明显减少，不失为一种适合工程应用的动力学建模方法。凯恩阐述他的方法的著作《 Dynamics, theory and applications 》已翻译成中文出版^[1]。今天在 “知网” 上检索 “凯恩方法”，还能查出数十篇论文。拙著《高等动力学》和《多体系统动力学》也包含了凯恩方法的章节。本文在附录中对此方法有简要叙述。

凯恩对分析力学的基础理论多有贡献，曾编写多本分析力学教材。他的研究工作偏重于以航天技术为背景的刚体和多体的动力学，如代表性的论文《 Multibody dynamics 》^[2]。但他的研究兴趣很广泛，例如对猫空中翻身现象的力学解释。前苏联洛强斯基 (Loytsiansky,L.G.) 的理论力学教科书中以 “只要急速转动尾巴，猫就能使身体朝相反方向翻转，而动量矩仍保持为零” 的论述曾对国内 50 年代的理论力学教师有深刻影响。稍加分析，猫尾和躯体的转动惯量相差极其悬殊，这解释明显有误。凯恩提出用两个圆柱体代表猫的前后半身，腰部用球铰连接作为猫的力学模型，建立无力矩状态下的动力学方程（图 2）^[3]。用数值积分的计算证明，当刚体之间作相对的圆锥运动转动一周时，会使整体发生 180 度翻转，完美解释了这个力学难题。笔者曾对他的双刚体模型导出解析积分，也得到同样结果。但讨论中他认为有无解析解无关紧要，认为用简单的计算器演算解析解，与直接用计算机做数值积分并无差别。他的这个观点似值得商榷（有兴趣的读者可参阅去年的博文 “猫的空中转体与动量矩守恒”）。

图2   凯恩论文中的插图

不仅对猫的空中转体，凯恩对人的空中转体也有特殊兴趣^[4]。例如他研究航天员在太空中如何靠手臂动作移动身体。据称他的研究曾协助警方判断坠楼者死于自杀还是他杀。这些论文对国内运动生物力学的开展起了不少启示作用。凯恩用数值方法模拟静摩擦与动摩擦不断变换的真实条件，计算刚体在地面上滚动的全过程，且与实验结果对照。用同样的数值方法计算了凯尔特石 ( Celt stone  或译为 rattleback )，一种特殊形状刚体的运动过程，对凯尔特石的倒退旋转现象提供力学解释^[5]（可参阅博文 “会倒退旋转的凯尔特魔石” ）。在他的指点下，我们用自制的凯尔特石教具第一次见识到这个奇异的力学现象。

访问期间按照凯恩的愿望，陪同他参观了上海郊区的农村。他十分关心中国的力学教育和研究状况，多次与力学同行座谈，热情介绍自己的研究工作。临别时希望与我们继续保持联系。转眼间 40 年过去，他的那次访问仍留下许多难忘的回忆。

凯恩于 1924 年出生于维也纳，1938 年为逃避纳粹迫害随双亲移居美国。曾作为军中摄影记者参加过二战。1953 年于哥伦比亚大学获应用力学博士学位，随后任教于宾州大学和斯坦福大学。他建立的分析力学的凯恩方法在 60 年代期间形成。近日从网络获悉，凯恩教授已于 2019 年 2 月以 94 岁高龄病逝。谨以此文表达怀念之情。

参考文献

1.   Kane,T.R., Levinson,D.A. Dynamics, Theory and Applications, New-York: McGraw-Hill, 1985.（中译本：T.R.凯恩, D.A.列文松. 动力学理论与应用. 清华大学出版社，1988）

2.   Kane, T.R., D.A. Levinson. Multibody dynamics. ASME J. Appl. Mech.. 1983, 50: 1071–1078.

3.    Kane, T.R., D.A. Levinson. A dynamical explanation of the falling cat phenomenon. Int.J. Solids & Structure, 1969, 5:663-670

4.   Kane,T.R.,Smith,P.G. On the dynamics of the human body in free fall. ASME J. Appl. Mech., 1968, 35: 167-168

5.    Kane, T.R., D.A. Levinson. Realistic mathematical modeling of the rattleback. Int. J. of Non-Linear Mechanics, 1982, 17 : 175-86

附录：分析力学的凯恩方法简介

 （改写自：刘延柱. 高等动力学(第二版). 第二章，2.3节. 北京：高等教育出版社，2016）

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