1.        充液刚体的动量矩：

   刚液系统对质心 O 的动量矩 L 等于刚体的动量矩 L⁽¹⁾  与腔内流体的动量矩 L⁽²⁾  之和。L⁽¹⁾  等于刚体对 O 点的惯性张量 J⁽¹⁾  与角速度 ω 的标量积。

                                               (1)

若腔内的流体团凝固为刚体，则可用同样公式计算动量矩。但这种特殊情况仅限于球腔。对于与球腔接近的椭球腔，根据前文  “充液系统动力学(四)”  中的叙述，腔内流体可以做不受腔壁约束的 “均匀涡旋运动” 。流场的速度分布规律为

                                                                                                                                (2)

其中 Ω 为均匀涡旋运动的涡量，r 为流场内任意点至质心 O 的矢径。上式右边第一项是假设流体团做刚体转动产生的速度。第二项 v* 是为满足腔壁边界条件的速度增量，以 ϕ 为势函数 ：

                                                                                                                  (3)

其中 ψ 为椭球腔的茹可夫斯基势函数，其在刚体的参考坐标系 (O-x₁x₂x₃) 中的投影为

                                                              (4)

其中

                                                        (5)

a_j  (j = 1, 2, 3) 为椭球腔的半轴。将式 (2), (3) 代入腔体域 V 内的积分式，以计算流体团的动量矩 L⁽²⁾ ：

                                                 (6)

上式右边第一项为刚体转动的动量矩，J⁽²⁾ 为凝固的流体团惯性张量，第二项是因速度增量 v* 引起的附加项。将式 (3) 代入以上积分式，展开为

                               (7)

其中 J* 为速度增量的势函数 ψ 导致的惯性张量：

                                                                                 (8)

充液刚体的总动量矩 L 为式 (1) 与式 (6) 之和：

                                                                                (9)

若改用相对涡量 Ω′ = Ω - ω 代替涡量 Ω，则总动量矩 L 也可表示为

                                                                                                                                            (10)

其中 J =  J⁽¹⁾ +  J⁽²⁾,  J′ = J²⁾ -  J *。

2．无力矩充液刚体的动力学方程

在博文 “抖空竹与欧拉方程” 中曾将无力矩作用的刚体定点运动称为欧拉情形定点运动。另一篇博文 “运动员的旋空翻与欧拉-潘索运动” 中曾说明，刚体绕确定轴匀速旋转且旋转轴在空间中保持方位不变的运动称为永久转动 (permanent rotation)。欧拉情形永久转动的稳定性取决于刚体的质量几何，即绕最大或最小惯性轴的永久转动稳定，绕中间惯性轴的永久转动不稳定。现讨论若刚体带有充液腔，腔内流体对永久转动的稳定性产生何种影响。

设有固定点 O 的刚体为轴对称，充液腔为轴对称椭球形腔。充液刚体的稳态运动为刚体连同腔内液体以角速度 ω₀ 绕对称轴 x₃ 作永久转动，旋转轴与动量矩矢量 L 方向一致。无力矩状态下动量矩守恒，L 为常矢量。以 O 为原点建立惯性坐标系 (O-X₁X₂X₃)，令 X₃ 轴与守恒的动量矩矢量 L 一致。轴对称刚体相对 (O-X₁X₂X₃)的姿态用卡尔丹角 α, β, φ 表示。设刚体从 (O-X₁X₂X₃) 位置出发，首先绕 X₁ 轴转动 α 角到达 (O-X′₁X′₂X′₃) 位置，再绕 X′₂ 轴转动 β 角到达 (O-x₁x₂x₃) 位置，其中 x₃ 轴为刚体的对称轴（图 1）。(O-x₁x₂x₃) 绕 x₃ 轴转动 φ 角后到达刚体的实际位置。由于刚体的质量分布相对 x₃ 轴对称，无论 φ 角如何变化，(O-x₁x₂x₃)  均为刚体的主轴坐标系。将 (O-x₁x₂x₃) 作为矢量计算的投影坐标系可使公式简化。

图1   参考坐标系

受扰后 x₃ 轴在 X₃ 轴附近的偏角 α 和 β 均为小量。仅保留其一次项时，动量矩 L 相对 (O-x₁x₂x₃) 的投影为

                                                                                                                 (11)

刚体的角速度 ω 在 (O-x₁x₂x₃)  中的投影为

                                                                                                                        (12)

动量矩 L 也可利用公式 (10)，以角速度 ω 和相对涡量 Ω′ 表示。设其中的惯性张量 J 和 J′ 在 (O-x₁x₂x₃) 中的投影矩阵分别为

                                                                                                        (13)

则 L 的投影为

                                                      (14)

将式 (12) 代入上式，令其与式 (11) 逐项相等，得到沿 x₁ 和 x₂ 轴的投影式：

                                                                                            (15)

沿 x₃ 轴的投影式表明，由于腔内流体影响，绕 x₃  轴的实际角速度略小于 ω₀ = L/C。方程组 (15) 作为动力学方程，其阶数明显小于欧拉方程，更便于分析处理。

前文 “充液系统动力学(五)” 曾对刚体绕 x₃ 轴作角速度 ω₀e₃ 的永久转动时，导出其旋转椭球腔内涡量 Ω应满足的亥姆霍兹方程。现将求导的参考坐标系改为  (O-x₁x₂x₃) ，令 Ω = ω + Ω′， (O-x₁x₂x₃) 的角速度记作 ω_* 以区别于刚体角速度 ω，写作

              (16)

其中波浪号表示相对  (O-x₁x₂x₃)  的局部导数，角速度 ω_* 在  (O-x₁x₂x₃)  中的投影为

                                                                                                    (17)

式 (16) 中的参数 Γ  已在前文中导出：

                                                                                                                                       (18)

其中 λ = a₃/a₁ 为椭球的半轴比。将式 (12), (17) 代入方程 (16)，仅保留扰动量及 ω₃ - ω₀,  Ω′₁,  Ω′₂ 的一次项，导出其沿 x₁ 和  x₂ 轴的投影式：

                                                                                                     (19)

沿  x₃ 轴的投影式表明涡量 Ω′₃ 为常值。

   以无量纲时间 τ = ω₀t 为自变量，且定义以下复变量：

                                                                                                           (20)

将方程组 (15) 与方程组 (19) 分别合并为复数方程组：

                                                                                                                         (21)

其中

                                                                                                                (22)

此处用大写的 Λ 表示惯性矩比，以避免与椭球的半轴比 λ 混淆。

3．凯尔文问题

   英国物理学家汤姆森 (Thomson,W.) 或称凯尔文爵士 (Lord Kelvin)（图 2）于 1877 年在薄壁球形充液腔的旋转实验中，发现其自旋运动处于临界稳定状态^[1]。当陀螺外形稍趋扁平时旋转轴保持稳定，而稍趋细长即出现强烈不稳定现象。为解释此现象曾引起数学界和物理学界热议。1880 年格林希尔 (Greenhill,G.)，1885 年茹可夫斯基 (Rhukovsky,N.E.) 先后給出理论解释。即使到了上世纪，仍吸引了 Poincaré,  Chetayev,  Parks 等数学家的兴趣。

图2   凯尔文(Lord Kelvin, 1824-1907)

应用上述离散化方法可对凯尔文问题作出简明的解释。为此将 z, w 的指数形式特解 z = Ze^isτ, w = We^isτ 代入复数方程组(21)，导出以 s 为变量的频率方程：

                                                                                 (23)

根据此方程的根为纯虚数或实数的条件判断，自旋充液刚体的一次近似稳定性条件为：

                                                                              (24)

设主刚体为薄壁壳体，忽略其质量仅考虑流体团的质量。充液腔为旋转椭球形，其主惯性矩等参数为

                                                         (25)

其中  J₀ = 4πρa₁⁴ a₃/15 。代入式 (22)，得到

                                                                                                        (26)

将式 (26) 和式 (18) 代入稳定性条件 (24)，化作

                                          (27)

从中得出结论：

                                                                                                 (28)

从而解释了凯尔文实验得出的 λ < 1 稳定，λ > 1 不稳定，与 λ = 1 对应的球形充液薄壁容器处于自旋稳定性的临界状态，外形稍有变化，即从稳定转为不稳定的现象。

在刚体动力学中，无充液腔的刚体绕最大或最小惯性矩主轴的永久转动均稳定。设刚体为轴对称，相对赤道轴和极轴的惯性矩为 A 和 C。在 (A,C) 参数平面内，C > A 或 C < A 均为稳定域。充液腔的存在使稳定的 (A,C) 参参数平面内出现不稳定域。在充液腔的几何参数和液体比重已确定的条件下，可从式 (24) 导出 (A,C) 参数平面内的稳定域边界线：

                                                                       (29)

充液腔的存在使刚体绕极轴的永久转动出现不稳定域。设椭球腔的几何参数为 (a₁ = 0.15 m,  a₃ = 0.3 m,  A′ = 0.4 kg-m²)，所导致的不稳定域如图 3 所示。

图3   带椭球形充液腔的自旋刚体稳定域

利用前篇博文叙述的均匀涡旋运动概念，可将以上分析推广至非椭球形充液腔。仅须将公式中的涡量以平均涡量代替。以圆柱形腔体为例，设腔体的几何参数为 (a = 1 m, 高度 h = 1,25 m, A′ = 4 kg-m²)，其近似的不稳定域在图 4 中用虚线画出。实线划分的不稳定域是根据圆柱形流场计算得到的更准确结果。

图4  带圆柱形充液腔的自旋刚体稳定域

    参考文献:

     [1]  Lord Kelvin. Letter to editor, Nature, (15),1877

      （改写自： 王照林，刘延柱. 充液系统动力学. 第3章. 北京：科学出版社，2002

                        刘延柱. 陀螺力学(第二版)，第10章. 北京：科学出版社，2009

              刘延柱. 关于Kelvin问题. 力学与实践, 1994, 16 (3) : 43-45）