1.       液体的刚体转动：

前篇博文中叙述了椭球腔内无旋理想流体的等效刚体。对于球腔的特殊情形，腔内流体可如同刚体一样做整体转动。此时充液刚体的运动与带球形转子的刚体完全相同。腔内的流体运动为有旋流动。以 Ω′ 表示液体团在主刚体内作刚体转动的相对角速度，则流体质点的相对速度为

                                                 (1)

将 u 投影至主刚体坐标系 (O-x₁x₂x₃)，得到

                                                                                                                       (2)

博文 “充液系统动力学 (二) ” 中曾给出流体的旋度 (rotation) 与涡量 (vorticity) 的概念。说明流场中除由速度 v 构成的速度场以外，还存在由旋度 rotv = ▽×v 构成的旋度场。旋度之半称为流体的涡量。如主刚体静止，将 v 以  u 代替，利用式 (2) 计算得到的涡量为

                                                                                                                 (3)

表明流场内每个点的涡量相同，均等于流体团的转动角速度 Ω′。如主刚体以 ω 角速度转动，则液体团的绝对涡量为 Ω = Ω′+ω，也就是液体团的绝对角速度。流场内各点的绝对速度 v 为

                                                                                                                                                           (4)

2.       均匀涡旋运动：

流体的刚体转动仅限于球形腔。在其它任何非球形腔内，由于腔壁的约束，刚体转动均不可能实现。但椭球腔内的流体有一种流动与刚体转动十分接近。设椭球腔壁 Σ 的曲面方程为

                                                                                    (5)

利用以下坐标变换可将椭球腔变换为球腔（图 1）：

                                                                                                       (6)

图1   椭球腔与变换后的球腔

设流体在球腔内以相对角速度 Ω′₀ 作刚体转动。流体质点的相对速度 u₀ 在球腔参考坐标系 (O-x₀₁ x₀₂ x₀₃) 中的投影如式 (1), (2) 所示，仅增加下标 0 以区别于椭球腔内的实际流速:

                                                                                                                                                (7)

球腔内的流速 u₀与椭球腔内的实际流速 u 之间满足与式 (6) 相同的比例关系：

                                                                                                             (8)

将式 (6), (7) 代入式 (8)，导出流体在椭球腔内的实际流速 u  ：

                                                                                                  (9)

为验证流速 u 能否满足椭球腔壁处法向速度为零的边界条件：

                                                                                             (10)

将式 (5) 和式 (9) 代入后，可使此条件成为恒等式。表明上述流动可不受椭球腔壁的约束自由进行（图 2）。将式 (9) 代入式 (3) 计算椭球腔内的实际涡量 Ω′，得到

                                                                                                               (11)

与球腔类似，椭球腔流场内每个点的涡量 Ω′ 均相同。可将涡量  Ω′ 作为描述腔内流体运动状态的离散化参数。庞加莱 (Poincaré,H) 将这种特殊的流动称为流体在椭球腔内的简单流动。由于每个点的涡量相同，也称为流体的均匀涡旋运动 (homogeneous vortex motion) (图 2)。

图2   椭球腔内流体的均匀涡旋运动

若主刚体以角速度 ω 转动，则流体的绝对涡量为 Ω = ω+Ω′。流体质点的绝对速度为

                                  (12)

表明若椭球腔内的流体团以角速度 Ω 做刚性转动，所产生的速度 Ω×r 必须增加速度增量 v*，方能满足腔壁的边界条件。此速度增量可从上式中解出，得到

                                                                                                                                  (13)

将式 (9) 代入上式，其中 Ω′₀ 利用式 (11) 化作以 Ω′ 表示，导出

                                 (14)

不难看出，速度增量 v* 存在势函数 v* = ▽ϕ，ϕ = ψ·(ω-Ω)，其中 ψ 即博文 “充液系统动力学 (三)” 中导出的椭球腔的茹可夫斯基势函数:

   (15)

与椭球腔内无旋液体的势函数 ϕ = ψ·ω比较，仅须将其中的 ω 换作 ω-Ω 。于是均匀涡旋运动的流动规律可视为刚体转动与有势的附加流动的叠加，即

                                                                                                                     (16)

球腔作为椭球腔的特例，令 a₁ = a₂ = a₃，则 v* = ▽ϕ = 0，附加流动和对应的势函数均不存在。

3.       亥姆霍兹方程与涡量守恒定理

前文 “充液系统动力学 (一)” 中曾导出流体的动力学方程。如忽略流体的粘性，称为欧拉水动力学方程：

                                      (17)

令哈密顿算子 ▽ 与各项叉积，计算此方程各项的旋度 rot。设体积力 f 为有势力，其旋度为零。利用rot▽ = ▽×▽ = 0，则 ▽p 的旋度亦为零。将上式展开，经过适当的数学推导化作^[1]

                                                               (18)

涡量 Ω 必须满足的此微分方程称为亥姆霍兹 (Helmholtz,H.) 方程。一般情况下，亥姆霍兹方程 (19) 中的 Ω 是坐标 x_j (j = 1,2,3) 和时间 t 的函数。上述椭圆腔内的均匀涡旋运动是唯一的特例，流场内各点的涡量相同，方程 (18) 成为常微分方程：

                                                                                                           (19)

将式 (9),(12) 代入方程 (19)，导出其投影式：  

                                (20)

将此方程组的各式分别乘以 a₂² a₃²Ω₁,  a₃² a₁²Ω₂,  a₁² a₂²Ω₃ 后相加，得到

                                                          (21)

积分得到

                                                                 (22)

此初积分称为亥姆霍兹涡量守恒定理，即椭球腔内理想流体的涡量Ω的模不随时间变化。涡量守恒是无力矩状态下动量矩守恒的必然结果。对于球形腔特殊情形，令a₁= a₂ = a₃，化作 Ω = const，即流体团的旋转角速度守恒。

综上所述，对于刚体与椭球腔内有旋理想流体组成的系统，可将刚体的角速度和流体团的涡量作为离散化变量，列写刚体的动力学方程和流体的涡量方程做动力学分析。但此数学模型仅限于椭球腔。关于非椭球腔的更一般情形将另文叙述。

参考文献：

[1]  Kochin,N.E., Kibel,I.A., Rose,N.V., Theoretical Hydromechanics, New York: Interscience Publishers, 1964

     （改写自：王照林，刘延柱. 充液系统动力学. 第3章. 北京：科学出版社，2002

      刘延柱. 陀螺力学(第二版)，第10章. 北京：科学出版社，2009）