浅谈对等关系与对偶原理

周铁戈

对等和对偶是我们经常遇到的概念，两者有一定的相似性，但并不相同，都涉及了非常广泛的内容，具有深刻的意义。对等是一种关系，所以经常会说到“对等关系”；而对偶是一个原理，所以经常会说到“对偶原理”。本文将对对等关系和对偶原理进行介绍，由于能力所限，恳请各位读者多多批评指正。

第一部分 对等关系

我们都知道“相等”是一种简单的数学关系，比如0.5+0.5=1。那么相等有哪些性质呢，首先a = a，就是一个数和它自身相等；其次，如果a = b，那么就有b = a；再次，如果有a = b且b = c，那么就有a = c。把这三条性质拿出来就是数学上“对等关系”的定义，具有下面性质的关系称为对等关系(用符号~表示)：(1) 自反律，A ~ A；(2) 对称性，若A ~ B，则有B ~ A；(3) 传递性，若A ~ B，且B ~ C，则有A ~ C。可以也看出大于、小于、大于等于、小于等于等都不是对等关系。除了相等，还有很多关系也都是对等关系。

一、三角形全等≌

经过平移、旋转、翻转后，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，从定义可以知道，两个全等三角形的三条对应边及三个对应角都相等。显然三角形全等是一种对等关系。以传递性为例，如果△ABC≌△DEF且△DEF≌△GHI，那么就有△ABC≌△GHI。

二、三角形的相似∽

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫相似三角形（见图1，△ABC∽△DEF）。三角形相似也是一种对等关系，符合定义的三条要求。

图1 相似三角形

三、直线的平行∥

平面内，不重合的永不相交的两条直线叫平行线。如果修改一下平行的定义，规定一条直线可以与自身平行，那么平行也是一种对等关系。例如，如果a∥b且b∥c，那么就有a∥c。

四、定理的等价⇔

设A和B是两个定理，“从A可以推出B"，同时“从B可以推出A”，就说A和B是等价的，记做A⇔B。这也是一种等价关系，比如高等数学中微分中值定理中的Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理就是彼此等价的，就是说利用其中的任意一个定理可以推导出其他两个定理。

五、矩阵的相似~

设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记做A~B。很明显这也是一种等价关系。

六、电路的等效

如图2所示，电路的等效是指用结构不同的电路C替换电路B，如果替换后电路A中的电压和电流都没有变化，则称电路B和电路C是等效的。要求对于任何电路A时，B与C的效果都一样，这才是等效。可以证明此时电路B和电路C具有相同的电压-电流关系。电路之间的等效也是一种等价关系。

图2 电路等效的示意图

七、集合的对等

若存在一个映射φ，是集合A到集合B的一一映射，则称集合A与B对等，记作A~B。一一映射就是说如果A中有一个元素，那B中必须有唯一一个元素与之对应，反过来B中有一个元素，A中也必须有唯一一个元素与之对应。显然集合之间的对等是一种对等关系。

设A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ……}，B={ 2, 4, 6, 8, 10, ……}，则A和B是对等的，因为A和B之间存在一个一一映射y=2x。设A=实数区间(0, 1)，B=实数区间(1, ∞)，则A和B是对等的，映射为y=1/x。进一步，整数与有理数是对等的，而有理数和无理数不是对等的，感兴趣的读者可以参考作者的博文“深论多少”。

八、国际关系中的对等原则

对等关系在国际关系中也具有重要意义，体现出交往中的平等。国际关系中的对等原则是指一国对于他国公民、企业和组织的诉讼权利加以限制或给予方便时，他国也以相对应的规定限制或给予该国公民、企业和组织相应的诉讼权利。

第二部分 对偶原理

在科学上对偶原理是一个非常重要的原理，对偶原理主要是说一个规律、一个定理或者一个命题，经过某种变换（这个变换一般是对称的变换，就是如果a变成b，那么b就要变成a）后依然成立。

一、逻辑学中的对偶原理

大家最熟悉的一个例子就是“一个真命题的逆否命题依然是真命题”，比如“开水一定烫手”是真命题，那么它的逆否命题“不烫手的一定不是开水”也是真命题。

更深入一些，逻辑学上对偶原理是指如果两个逻辑表达式相等，那么它们的对偶式也相等。对偶式指的是对于任何一个逻辑表达式Y，将其中的“与”（用“·”表示）换成“或”（用“+”表示），“或”换成“与”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，逻辑变量要变成它的反变量，并保持运算顺序不变，得到Y'，Y'就是Y的对偶式。

先看一个最简单的例子，逻辑表达式“1+0=1”是成立的，如果把等号的左右两边都换成对偶式，就会得到“0*1=0”，根据对偶原理这个式子也是成立的。再比如“1·(1+0)=1” 是成立的，那么“0+(1·0)=0”也是成立的。

用变量表示的逻辑表达式(A+B) ·C=A·C+B·C是成立的，如果把等号左右两边都换成对偶式，就会得到

根据对偶原理这个式子也是成立的。

对偶原理还可以用来化简或者修改逻辑表达式，

可以看出同或运算和异或运算是对偶表达式。

二、几何学中的对偶原理

几何学中的最简单的对偶原理是：把一个定理的“点”和“直线”对互换，然后其相对应的性质也替换后，得到的命题依然成立。举例如下：

1、在平面内，过两点只能做一条直线；对偶原理：两条直线只能相交于一点。

2、在平面内，不共线的三点，可唯一确定过这三点的一个圆；对偶原理：不相交于一点的三条线直线，可唯一确定相切于这三条直线的一个圆。

3、德萨格定理(Desargues theorem)定理：如果两个三角形的对应顶点的连线相交于一点，则这两个三角形的对应边的交点必定在同一直线上。这个定理本身就是一个对偶原理。

三、线性规划问题中的对偶原理

线性规划问题是指目标函数和约束条件皆为线性的最优化问题。先看一个最简单的例子，问“平面上长度固定的闭合曲线什么形状围成的面积最大？”，答案是圆。对偶问题是“平面上面积一定区域，什么形状时，边界线的长度最小”，那么根据对偶原理答案也是圆。

线性规划中的对偶理论非常复杂，仅简单介绍如下，对于目标函数，将原问题中的max（求最大）换成对偶问题中的min（求最小），将约束条件中的原问题 “≤”换成对偶问题中的 “≥”。那么这两个问题的答案是一样的。感兴趣的同学可以网上搜索相关资料进行深入学习。

四、电场和磁场的对偶原理

下面给出的是麦克斯韦方程组，用来描述电磁场。由麦克斯韦方程组可以看出，如果J=0，就是没有电流时，交换磁场B和电场E，得到的结果仍然是正确的。

J不等于0时，如果假设存在磁荷（类似于电荷）和磁流（类似于电流），磁荷的磁场与电荷的电场满足相同的规律，磁流的电场与电流的磁场满足相同的规律，这也符合对偶原理。

五、电路中的对偶原理

先看两个最简单的例子：

1、电阻和电导。电阻的电压和电流关系为u=Ri，如果将电压变换为电流，电流变换为电压，电阻变换为电导（G=1/R），就得到i=Gu，得到的这个公式就是电导的电压电流关系，是成立的。

2、电容和电感。从下面给出的电容和电感的电压电流关系可以看出，只要互换电压和电流，互换电容和电感，就可以得到另外一个元件的电压电流关系，这也是对偶原理。

像上面这样的具有一一对应性质的一对元素(电路变量、电路元件、拓扑结构和电路定律等)，即可以相互转换的一对元素称为对偶元素。电路中的主要对偶元素有磁通链↔电荷、电压↔电流、电阻↔电导、电感↔电容、电压源↔电流源、串联↔并联、网孔↔结点、KVL（基尔霍夫电压定律） ↔KCl（基尔霍夫电流定律）。

电路的对偶原理是说用对偶元素相互替换，定理（或者公式、方程等）依然成立。以下图为例，a和b是两个对偶电路（电压源和电流源互换，电阻和电导互换，串联和并联互换），a的电路方程为u=i×(R1+R2)，如果做对偶变换，就得到i=u×(G1+G2)，正好是b电路的方程。

图3 对偶电路

六、文学中的对偶

“纸上人间烟火，笔底四海风云。” 其实文学上的对偶更具美感。文学中的对偶是一种修辞方法，是指用字数一样、结构相同的一对短语（或句子）来表达两个相对应的意思。这种修辞的优点是：句式整齐，对偶的两方面的意思互相补充和映衬，加强语言的效果。

1、正对偶

正对偶是指，对偶和两句话表达的意思是同类或相近，是互为补充的。比如：“山河破碎风飘絮，身世浮沉雨打萍”，这是文天祥《过零丁洋》中的名句，既写出了国家的灾难，又写出了个人的坎坷。

2、反对偶 　

对偶的两句表达的意思是相反或相对的，多指一件事的两个方面。比如唐代李商隐的名句"身无彩凤双飞翼,心有灵犀一点通。"

文学中的对耦合和电路中的对偶类似，存在很多对偶元素，明末清初李渔《笠翁对韵》中有：天对地，雨对风。大陆对长空。山花对海树，赤日对苍穹。雷隐隐，雾蒙蒙，日下对天中。风高秋月白，雨霁晚霞红。牛女二星河左右，参商两曜斗西东。十月塞边，飒飒寒霜惊戍旅；三冬江上，漫漫朔雪冷渔翁。

致谢：感谢李雨遥同学对本文的检查和提出的修改建议。