深论“多”与“少”

周铁戈

生活中我们经常使用“多”和“少”这两个字，比如“早上五点路上人很少”、“早高峰路上人很多”，本文将从数学上深入讲一讲“多”和“少”。对于数量有限的对象，很容易比较它们的多少。比如A的数量是50，而B的数量是90，那么肯定是B比A多。问题出现在无穷多，无穷多和无穷多能比较谁更多吗？如果能，应该如何比较？比如我们可以提这样两个问题： 1、所有整数和所有有理数，谁的数量更多？2、所有有理数和所有无理数，谁的数量更多？这两问题涉及的数量都是无穷的。

为了对此进行回答，先介绍集合的概念。把一些确定的、彼此有区别的、具体的或抽象的东西（称为元素）作为一个整体，便叫做集合。集合中含有元素，比如所有整数放在一起可以构成一个集合（一般用Z表示整数集合），其中的整数就是元素；所有有理数放在一起构成一个集合（用Q表示），有理数是元素；所有无理数放在一起构成一个集合（用Ω表示），无理数是元素。

“多”和“少”就是集合中元素数量的问题。如果一个集合中的元素个数是有限的就称为有限集，如果一个集合中的元素个数是无限的就称为无限集。两个有限集可以很方便的比较其中元素个数的多少，比如集合A有5个元素，集合B有6个元素，当然B的元素数量多于A的元素数量。

无限集的元素数量肯定比有限集的元素数量多。无限集之间应该如何比较元素数量的多少呢？这需要引入集合对等的概念：若存在一个映射φ，是集合A到集合B的一一映射，则称集合A与B对等，记作A~B。一一映射就是说如果A中有一个元素，那B中必须有唯一一个元素与之对应，反过来B中有一个元素，A中也必须有唯一一个元素与之对应，见图1：

图1 一一映射示意图

      彼此对等的集合，我们有理由认为它们的元素个数相等，原因很简单，A能拿出来一个，B也能拿出来一个与之对应，A能拿出多少个B就能拿出多少个；反过来B能拿出来一个，A也能拿出来一个与之对应，B能拿出多少个A也能拿出多少个。下面看具体的例子：

（1）A={ 1, 2, 3, 4, 5, ……}，B={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……}

A与B是否对等？乍一看，好像B比A多出一个元素0，但是两者却是对等的，可以认为元素数量是一样的。让A中的1与B中的0对应，A中的2与B中的1对应，A中的3与B中的2对应，以此类推，两者可以建立一一对应的关系（原因在于它们都是无限集，可以永远的一直对应下去），因而我们可以认为两个集合的元素数量相等。有同学也许会说：B明明多出一个0，A中是没有0的，这就要强调一下，我们讨论的是元素的数量问题，与元素是否完全相同并无关系。

（2）A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ……}，B={ 2, 4, 6, 8, 10, ……}

A与B是否对等？乍一看，B是正偶数的集合，而A是正奇数和正偶数的集合，A的元素个数似乎比B多。但是可以让A中的1与B中的2对应，A中的2与B中的4对应，A中的3与B中的6对应，以此类推，两者可以建立一一对应的关系，因而我们可以认为两个集合的元素数量相等。

（3）A={ 1, 2, 3, 4, 5, ……}，B={ ……, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……}

A与B是否对等？答案：A与B是对等的，可以把B写成{ 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …… } 的形式，依次与A中的元素{ 1, 2, 3, 4, 5, ……}对应即可。

（3）A=实数区间(0, 1)，B=实数区间(1, ∞)

A与B是否对等？两者可以对等，因为两者之间存在一一映射f(x)=1/x。既然对等就可以认为它们的元素数量相同，即便它们的长度相差很大。

（4）A=实数区间(0, 1)，B=实数区间[0, 1]

A与B是否对等？乍一看，B比A多出两个元素，分别为0和1，似乎不能对对等。但是两者也是对等的，因为从第（1）个例子我们就能看出，对于无限集，增加或者减少有限个元素是不影响对等的。

（5）整数与有理数

两者是否对等？这是本文最重要的问题之一，答案是可以对等。有理数可以写成两个整数之比，看见图2给出的表格，给出的是正有理数，表格一直扩展可以列出所有的正有理数。所有的正有理数可以和正整数实现一一对应，进行对应时不能直接拿出其中的一行或者一列与正整数对应，要按照图2箭头标出的顺序依次与正整数对应起来，也就是按照图2的顺序对所有的正有理数进行编号，在编号的过程中要取消已经编号的重复的数。1/1编号为1，1/2编号为2，2/1编号为3，3/1编号为4，2/2就是1/1要从表格中删除，1/3编号为5，1/4编号为6，……

图2 正有理数的排列规则

既然正整数和正有理数是对等的，那么所有整数和所有有理数也是对等的，可以认为所有整数和所有有理数的数量相等。

下面介绍一个新的定义——可列集，凡与正整数对等的集合称为可列集或可数集。有理数集合是可列集。

把所有有理数拿出来放到一起总长度应该是多少呢，我们计算一下。因为有理数是可列的，可以写成数列的形式：

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, ……

取 ε>0，ε是一个很小的正数。a1是一个点，长度肯定小于等于ε/2；a2是一个点，长度肯定小于等于ε/4；a3是一个点，长度肯定小于等于ε/8；……。把所有的ε/2、ε/4、ε/8、……都加在一起可以得到

ε/2+ε/4+ε/8+…… = ε

所有有理数的长度小于等于ε，令 ε → 0，可以得出所有有理数的长度为0.

（6）有理数和无理数

无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。我们已经知道有理数是可列的，而无理数是不可列的，不能和正整数对等，无理数中数的数量虽然也是无穷，但比有理数更多。证明如下，假设无理数可列，可以按图3的方式排列，A表示整数部分，“.”表示小数点，a1、a2、a3……分别表示小数点后第1位、第2位、第3位……

图3 假设无理数可列的示意图

依照图3，可以找到这样一个无理数，0 . a b c d e ……，其中a≠a1，b≠b2，c≠c3，d≠d4，e≠e5，…… 那么这个数与所有列出来的无理数都不相等，也就是没有被列出来，与假设矛盾，所以无理数是不可列的。这个证明方法叫康托尔对角线法（Cantor，1845.3.3-1918.1.6，德国，数学家，集合论的创始人，见图4）。

图4 康托尔

无理数不可列，数量远远多于有理数，实数几乎都是无理数，随机拿出一个实数，是有理数的概率为0，而是无理数的概率为1。把[0, 1]之间所有的无理数拿出来，长度应该是多少呢，长度是1，因为有理数的长度是0。

最后介绍“势”的概念，根据对等关系可以把所有集合分类，彼此对等的集合归于一类，属于同一类的集合称它们具有相同的势。势是“元素个数”概念的扩展，对于有限集，势就是元素个数。所有可列集具有相同的势，可列集的势在所有无限集中是最小的。无理数和实数的势大于可列集的势。

总之，无穷多和无穷多可以进行比较，要利用集合对等的概念，有理数与整数对等，可以认为元素数量相等；有理数和无理数不对等，无理数的个数远多于有理数。无限集的元素数量问题非常有意思，感兴趣的同学可以继续搜索“希尔伯特旅馆”。