azureps的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/azureps

博文

三角函数的诞生与发展

已有 14144 次阅读 2022-2-27 08:45 |个人分类:科技发展史|系统分类:科普集锦

三角函数的诞生源于人们对测量技术的需求。古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchusc.190 – c.120 BC)为了测量天球上的角度和距离,制作了人类历史上第一张和弦表a table of chords),也被称为三角学的创始人。 

所谓和弦即圆上两点之间的连线(更一般的也可以指任意曲线上的两点连线),如图1所示,设∠AOB=α是圆上的圆心角,则AB即为圆心角所对应的和弦长度。

1 和弦示意图

 

想象AB是天球上的两颗星,AB的距离就等于喜帕恰斯的和弦。如果采用现在我们熟知的正弦来计算,则有


chord(α)= AB=2r*sin(α/2)

 

这里,r为圆半径;chord(α)表示角α所对应的和弦。可见,喜帕恰斯的和弦表本质上就是正弦表。和弦的一半再除以圆的半径就是正弦,因此正弦也被称为半和弦。喜帕恰斯所设想的圆半径为3438个单位,在他的和弦表,每7.5度为一个增量,喜帕恰斯也成为了第一个系统使用一个圆有360度的人。


2 Hipparchus 约前190-约前120

 

在喜帕恰斯前几个世纪,古埃及人和古巴比伦人已经积累了许多三角形边比的性质,只是当时还没有角度的概念,写不出三角函数关系。特别是古巴比伦人在记录恒星的升、落,行星运动,以及日食、月食等现象时,用到了大量的天球上角距离的测试。甚至有人猜测,古巴比伦人曾有过一张类似于喜帕恰斯的和弦表。另一方面,古埃及的Ahmes(约前1680-1620)曾记录了这样一个与三角函数相关的问题:

 

     “如果一个金字塔高 250 肘,它的底边长 360 肘,它的边角是多少?

 

“肘”是一种古埃及的长度单位,也被称为腕尺,一般长18英寸(457mm)

3 一肘的长度

 

Ahmes用金字塔底部边长的一半与高度的比值表示边角,他把这种角度测量命名为seked,用它来表示倾斜面的斜率,现在我们知道seked就是边角的余切。


金字塔边角的测量方案

 

在欧几里得《几何原本》中(成书于公元前300年左右),命题1213本质上给出了钝角和锐角余弦公式。如命题12为:

在钝角三角形中,钝角所对边的正方形(平方的意思)等于钝角两边的正方形之和在加上钝角边乘以该钝角边向外延伸,被该边上垂线截断部分的长。

 

如图5所示,△ABC为钝角三角形,BH垂直于AC的延长线于H点。则余弦公式为

AB2=AC2+BC2+2(AC)(CH)

这里CH=(BC)cos(π-γ)= (BC)cos(γ),将其代入上式,就是我们熟知的余弦公式。



5 欧几里得余弦定理

 

公元前3世纪,阿基米德提出了断弦定理,相当于现在三角函数的和差化积公式。断弦定理描述为:

 

   如图6所示,设ABBC组成了圆上的断弦,有BC >AB,若MABC弦的中点,过MBC的垂线,垂足为D,则有


AB+BD=DC


6 断弦定理及其推导和差化积示意图


假设上述圆为单位圆,并令弧MC=2x,弧BM=2y,则弧AB=2x-2y。更进一步,可以利用正弦求出对应弦长,即AB=2sin(x-y)BM=2sinyMC=2sinx。根据圆心角是圆周角的2倍,可知BD=BMcosx=2sinycosxDC=MCcosy=2sinxcosy。将其代入断弦公式,可得和差化积公式:

sin(x-y)=sinx cosy- cosx siny

约公元100年前后,希腊数学家、天文学家Menelaus (ca. 70-140)撰写了三卷的《球面学》(约公元98年),在第一卷中,他建立了球面三角形的原理,他发现在球面上,三角形只要对应角相等,两个球面三角形就相等,而且球面三角形的内角和大于180度。这似乎已经是非欧几何了。

 

罗马时期生活于亚历山大的托勒密(Claudius Ptolemy,约90-168)在他的《天文学大成》(Almagest)中扩展了喜帕恰斯的和弦表,托勒密以1/2增量,给出了从1/2度到180度的和弦表。托勒密的和弦表借助于托勒密定理验算,该定理给出了圆内接四边形的四边与两条对角线之间的关系,如图7所示,四边与对角线的关系为

(AC)(BD)=(AB)(CD)+(BC)(AD)



7 托勒密定理循环四边形

 

只需令ABBCCD分别对应所对应的内接角(圆周角)分别为αβγ,利用圆心角是圆周角的两倍,设圆半径为r,则有

AB=2r sinα BC=2r sinβ   CD=2r sinγ

AD=2rsin(180o-(α+β+γ))    AC=2rsin(α+β)    BD=2rsin(β+γ)

代入托勒密定理,即可得

式1.png

也就是我们现在熟悉的积化和差公式,差别只是托勒密使用的是和弦,而不是我们熟悉的正弦和余弦。托勒密还得到了半角公式的等价形式:

式2.png

当然有了积化和差,就很容易导出半角公式。由于毕达哥拉斯已经知道了毕达哥拉斯定理,在三角运算中,很容易由毕达哥拉斯定理导出三角恒等式,即

式3.png


公元4-5世纪,三角学在印度得到了非常重要的发展,在一本名为Siddhānta(译为:悉达多,字面意思为“既定的意见、教义、公理或被承认的真理”)的天文学著作中正确的给出了正弦的定义。而后,印度数学家、天文学家Aryabhata(公元 476-550)在他的著作Aryabhatiya中给出了完整的三角函数表达,他们以jya表示正弦sinkojya表示余弦cosutkrama-jya表示正矢(1减去某角度的余弦,即1-cosθ),otkram jya 表示反正弦arcsine

 

公元9世纪时,阿拉伯-波斯数学家、天文学家花刺子密(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmīc. 780–c. 850)第一次做出了正切表;阿拉伯马尔瓦齐(Ahmad ibn 'Abdallah Habash Hasib Marwazi, 766 - 869)给出了余切,并完整的应用了正弦、余弦、正切、余切;巴塔尼(Al-Battani, c.858–929)发现了正割(sec)和余割(csc)函数,并制作了第一张从90°每个度数的余割表。至此,六个三角函数全部具备了,三角函数之间的相互运算(如和差化积、积化和差)也具备了。


三角函数的另一个问题是计算问题,在古文明中,有关三角函数的计算多需要借助和弦表,或各类三角函数表,说明三角函数的计算并不容易。到公元7世纪时,印度数学家和天文学家Bhāskara I(c.600–c. 680)给出了正弦函数的近似公式,第一次拥有了不用查表获得三角函数值的方法,如

式4.png

后来有学者证明上述公式的求解误差小于1.9%。现在我们可以用泰勒级数展开求解三角函数可以获得更加准确的解,如式5.png


我们知道泰勒级数是基于微分运算的,令人惊讶的是,印度学者Bhaskara IIc. 1114–1185,和前面的Bhāskara I没有关系)和Madhavac. 1340 – c. 1425)早于牛顿和莱布尼兹给出了微积分的某些思想。


Bhaskara II在处理行星运动时给出了类似于导数的方法求解瞬时速度,设xy是非常接近的两个数,Bhaskara II给出了如下公式:

式6.png

上述公式就具有了导数的函数。用我们今天的语言来说,当y趋近于x时,正弦函数的导数为

式7.png

尽管Bhaskara II没有提出导数的概念,但显然,他已经知道了导数的运算,这比牛顿和莱布尼兹早了近500年。此外,和差化积的现代形式也由Bhaskara II给出。

 

Madhava发现了正弦、余弦、反正切的三角函数的无穷级数,这很像泰勒级数展开式。假设知道某角度θ的正弦、余弦值,即可利用Madhava级数求出该角度的大小,如下

式8.png

这一定理于1667年被苏格兰数学家James Gregory1638-1675)从新发现,被写为

式9.png

这里,x=tanθMadhava的正弦和余弦级数也在17世纪由牛顿和莱布尼兹重新发现,1748年欧拉给出了欧拉公式,如

式10.png

显然,欧拉公式的出现使得三角函数的运算得到了大大的简化。1807年,傅里叶建立傅里叶级数之后,三角函数的应用就从单纯的测量转向了电气工程、振动分析、声学、光学、计量经济学等多领域,最终使得三角函数——这一世界性课题以它的现代形式服务于科技进步!


参考文献:

莫里斯.克莱因. 古今数学思想(第一册)

Maria Drakaki. FROM THE THEOREM OF THE BROKENCHORD TO THE BEGINNING OF TRIGONOMETRY.

https://www.britannica.com/science/trigonometry

https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_trigonometry




https://blog.sciencenet.cn/blog-847068-1327228.html

上一篇:穿越欧氏空间与非欧空间
下一篇:力学与柏拉图的理念世界
收藏 IP: 27.39.221.*| 热度|

7 张学文 尤明庆 刁承泰 孙冰 王安良 宁利中 史晓雷

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (8 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-2-24 18:10

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部