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自我指涉（7）——语言限制了数学精选

已有 10524 次阅读 2013-12-2 11:12 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 悖论, 数理逻辑

数理逻辑用严谨的方式研究语法、语义，涉及语言的局限性。先略加解释要用到的概念、术语和符号。

用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号（或称谓词符号），以及与∧、或∨、非¬、蕴涵→等命题连接词，加上“存在∃”和“一切∀”两种量词构成了谓词逻辑语言。语言中，用符号表的字符，按照形成规则组成的字符串叫公式。不含有自由变量的公式叫句子（sentence）。如果量词“存在”和“一切”只允许对个体使用，不允许对集合或谓词等使用，叫一阶语言【1】，它是描写形式公理化系统的标准语言。逻辑语言和这语言中一组句子（称为公理）组成了理论。在一阶语言里如果包含有谓词演算的所有公理、非逻辑公理和谓词演算的所有推理规则，叫一阶理论。如果一阶理论里包含有算术公理，这理论叫一阶算术。

在理论S里一个句子ψ为真，指的是语义（semantic），它解释的客观事件是真的。用模型论【2】的术语说：ψ在模型M里是真的，记为M ⊨ψ. 哥德尔完备性定理说：一阶理论中的句子ψ在S的所有模型中都是真的，等价于ψ在S里成立，记为 S ⊢ ψ。说句子ψ按照真理T的定义是真的，指在S中证明T<ψ>是真的。这里所说：定义为真的，可以形式逻辑推导出来，被证明，都是同一个意思，记为S ⊢φ<ψ>.谓词φ是理论里的一个公式，它用来定义某种属性，包括真理。作为定义要求它对所有的ψ，理论都能证明其真假，也就是可判定的。

一个理论S是相容的（consistent）说；ψ和¬ψ（表示一对相反的命题）至少有一个不能在S里被证明。完全的（complete）的意思是，ψ和¬ψ至少有一个能在S里被证明。所以在相容且完全的理论里，能够对任何命题证明其真伪，能够定义任何属性，能够判定任何命题。反过来，这些性质也都要求理论是相容且完全的才行。

设ψ是谎言悖论的句子，这样的句子无法判断其真伪。在（包含一阶算术的）形式语言里无法定义真理。它表示的命题或反命题，在一阶算术理论里都不能被证明。这说明一阶算术理论不可能是相容且完全的。从这就不难理解塔斯基定理和哥德尔定理的结论。计算机是实现一阶算术理论的逻辑运算工具，所以图灵停机问题也是不可判定的。这些结论的严谨数学证明，在于怎么用形式语言表达出谎言悖论的句子来，这是哥德尔的主要贡献。

下面勾画出这个轮廓，更深入地剖析这些局限的本质和这几个定理间的关系。

当自我指涉的悖论撼动数学基础时，康托尔在之前，就曾经用它创造了对角线法的技巧。这个方法通过假定要证明的反命题成立，来构造出自我指涉的悖论。这从此成为一个数学的利器，证明了许多令人惊异的重要定理。受到康托尔对角线法技巧的启发，Carnap (1934)在哥德尔编码的基础上，证明了如下的“对角线引理”【3】：

设S是包含着一阶算术的理论，对任给公式φ(x)存在一个句子ψ，有 S ⊢ ψ↔φ<ψ>.

这里 S ⊢的意思是：理论S能够证明右边的式子成立。右边式子里的意思是：句子ψ语义的真假与ψ是否具有属性φ是等价的。这里φ<ψ>是φ(<ψ>)的简写，是评判句子ψ具有φ性质的谓词表达式，<ψ>是句子ψ的哥德尔数，看作是对句子的指称。

这个引理说：对于任给一个属性，可以构造出这样一个句子ψ，用自然语言来说是“这句子具有属性φ”。当然这里的ψ是用形式语言表达的，在理论S里证明它是这个意思。前面章节里用它构造个谎言悖论ψ↔ ¬T <ψ> 证明了塔斯基定理。

塔斯基定理：任何包含着一阶算术的理论，也包含了T模式，则是不相容的。（Any theory extending first-order arithmetic and containing schema T is inconsistent.）

在一阶算术里构造一个公式φ，φ<ψ>的意思为“命题ψ不能在理论里得到证明”，则可以推出哥德尔定理。我在《哥德尔定理的证明》系列里介绍了这个经典的证明。下面介绍怎么从塔斯基定理，推出哥德尔第一不完全性定理的梗概。以此可以理解：哥德尔定理揭露出来形式公理化数学系统的局限性，其实是由语言的局限所决定的。

哥德尔第一不完全性定理（Gödel's first incompleteness theorem）：

假如一阶算术理论是ω-相容的（ω-consistent），则它是不完全的。

这ω-相容【4】的意思是：对于任何公式φ(x)，如果系统里对于每个自然数n，φ(n)都不成立，则不能推出存在着一个x让φ(x)成立。用符号记为：⊢¬φ(n) for all n∈Z，则⊬∃x φ(x). 这个ω-相容性比相容性的强，可以推出后者来（J Barkley Rosser在1936年证明这定理对较弱的“相容”条件也成立）。哥德尔证明了可以用形式算术语言构造出公式Dem(n, <φ>)，有：

⊢Dem(n, <φ>) 当且仅当 n是证明句子φ的形式语言符号串的哥德尔数

如果理论是ω-相容的且完全的，不难从定义中推出，⊢∃xDem(x, <φ>) 等价于对给定的φ，有个具体的n 使得⊢ Dem(n, <φ>)，根据上面元语言的解释即是，对所有的句子（命题）有：

⊢∃xDem(x, <φ>) ↔φ，forall sentence φ

公式∃xDem(x, <φ>) 是用形式语言表达了命题φ在理论里可以得到证明的意思，也就是符合“句子φ在这理论里被证明为真”的定义。所以我们可以把它缩写成指称为真的谓词T，即有：

⊢ T<φ> ↔φ, forall sentence φ.

这就是T模式。这证明一阶算术如果是ω-相容的和完备的，则包含了T模式。从塔斯基定理得知，它是不相容的。这个矛盾证明了哥德尔定理。上面T模式产生了矛盾的直接解读是：一阶算术理论中的有些真理，不可能在一阶算术理论中得到证明。这个矛盾产生的原因是语言的局限性：在一阶算术里，不能定义形式逻辑的推导（证明）作为判定命题真假的谓词。

停机问题是数理逻辑中可计算性理论的重要问题【5】。图灵的停机问题不可判定性定理（Undecidability of the Halting Problem）说：“不存在着图灵机能够确定停机问题。”用现代的计算机概念来说是：没有一个程序能够通过检验输入的计算机程序，来判断它是否会在有限的时间内完成计算。这个定理原来是通过用图灵机模仿对角线法来证明，下面是程序版的证明，可以让了解C编程的人，对这问题有个直观的理解。

假设上帝程序God_tell通过检查program和data，告诉我们true还是false，对应着program(data)能否在有限时间内完成运算。

bool God_tell (char* program, char* data)

{

if ( program with data will not run forever) //check program to get the answer

return true;

return false;

}

构造一个魔鬼程序Satan_tell和上帝唱反调，会完成的程序让它进入死循环，否则就完成它。

bool Satan_tell (char* program)

{

if ( God_tell (program, program) ) {

//God tell us program(program) will finish and return.

while(1); // loop forever!

return false; // can never get here!

} else

//God tell us program(program) will not stop

return true; //let’s exit

}

现在问Satan_tell (Satan_tell) 会在有限的时间内完成计算吗？相当于问图灵机会停机吗？

这是个自我指涉的问题，它的逻辑类同于Grelling悖论，在那悖论里问：“异质”是异质的吗？Satan_tell就是那个异质形容词，它与形容的对象program的表现相反，所以也陷入Grelling悖论。我们再分析一下它为什么是悖论。Satan_tell (Satan_tell)的结果不外乎两种，一是进入死循环，不能完成，一是完成计算后返回。假如能完成，从上帝程序的设计知道God_tell(Satan_tell, Satan_tell)将返回true，这样在魔鬼程序里便进入死循环不停机，与假设矛盾。假如不能停机，God_tell(Satan_tell, Satan_tell)将返回false，在魔鬼程序里则返回true，却是完成返回。又是一个矛盾。这说明上帝程序God_tell不可能存在，否则就会产生悖论。也就是说不可能有个程序能够判断给定程序的停机问题。