上篇说到选举的结果，可能出现孔多塞的投票悖论，即优先顺序出现循环的现象。这给政治家一个操纵欺骗的空间。人们企图修正选举制度来消除它，后来发现即使没有循环的优先顺序，也可以操纵结果。这意味着，政治家即使不需要低级地利用悖论，来操纵程序达到目的，也可以通过更高明地利用或营造出某种局势，来为所欲为。下面继续用投票午餐的故事，来看是怎么回事。

上次说到胡哥当议长，面对竞选顺序‘牛排，寿司，饺子’三票，‘寿司，饺子，牛排’三票，‘饺子，牛排，寿司’一票，因为‘饺子先于牛排’，四比三；‘牛排先于寿司’也是四比三；确定公众优先顺序：饺子，牛排，寿司。菅桑和小奥虽然不服气却说不出理由来。这时只见喜卿咬着小奥耳朵说了几句，小奥点点头说：“虽然饺子先于牛排，牛排先于寿司都是多数，但是我们发现赞成‘寿司先于饺子’的也是多数。投票结论是矛盾的。所以你裁定的顺序不能成立。我们要求重新投票。”

胡哥说：“这样吧，你们都十票，小奥那边把票变变，要老这么矛盾着，我们就没法吃午饭了。这回让菅桑当议长来裁决总可以吧。”

这当然可以。都这么谦让了，老叨人家独裁也不好意思。小奥那边，牛排首选当然不能变，将寿司与饺子掉个顺序。

菅桑唱票：“‘牛排，饺子，寿司’十票，‘寿司，饺子，牛排’十票，‘饺子，牛排，寿司’一票。没有主导，比较细节。饺子先于牛排，十一比十。牛排先于寿司，十一比十。饺子先于寿司，呃，也是十一比十。这回循环赛没矛盾了，怎么小奥那边改了票，我们又多了许多票，结果顺序还是‘饺子，牛排，寿司’！”

胡哥说：“这就不好意思了。这时候无论我在这三者排列的六种选票中选任何一种，最后的结果都是会和我的选票一致。不信你们自个儿算算看。这是按照你们的民主规则，由你们当议长，投票的结论也通过检验没有矛盾，公开、透明、独立仍然选出了你们叫做独裁者的结果！”

这个故事中，胡哥应用了阿罗的不可能定理证明中的枢纽选票的思想。

有人问，这选举的结果也太出乎意料，令人难堪了。能不能改善一下规则，不要出现这样的局面？

1972年度诺贝尔经济学奖获得者，美国经济学家肯尼思•J•阿罗（Kenneth J．Arrow)，曾经想设计出完美的投票规则，来消除可能的漏洞。在费尽心机之后，他终于发现这是一个不可能的任务。自由，民意，理性和非独裁与选举的多数原则是不相容的。这就是他1951年发表的阿罗不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）【1】。

用科学方法来研究这个问题叫“社会选择理论”，属于福利经济学。选举就是从全体个人的偏好顺序中，比如说自己所喜欢的总统候选人顺序，总结出一个社会的偏好。这个“总结”的规则叫做选择函数。多数规则是一个选择函数。

阿罗认为一个完美的选举必须是：自由的，民意的，理性的。并且不能有独裁者。

自由的指：个人可以不受限制地选择自己的偏好顺序；个人是自由的。

民意的指：如果所有选民都认为‘甲优于乙’，结果也必须是‘甲优于乙’；结果要反映民意。

理性的指：结果中甲与乙的优先关系，只取决于选民中甲与乙的优先关系，与其他的关系无关。也称为独立的。

独裁者指：选举结果的任何一对优先顺序都是由某位选民决定的。

阿罗的不可能定理说：当至少有三名候选人和两位选民时，无论用什么选举规则（选择函数），都不可能既是完美的，也不会有独裁者的。

这些在1951年阿罗（K. Arrow）的经典著作《社会选择和个人价值》中证明和陈述的。认为随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。阿罗由于对福利经济学的贡献，在1972年得到诺贝尔经济学奖。

“阿罗的结果是令人震动的：一个社会不可能有完全的每个个人的自由—— 否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济—— 否则将导致垄断。...阿罗的不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利经济学产生了巨大的冲击，甚至招来了上百篇文章对他的定理的驳斥和论战。事实上，阿罗的不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战。...一个更完整、更简单也更具一般意义的不可能性定理，由艾利亚斯在2004年发表。艾利亚斯的不可能性定理有怎样的经济学和社会学结论是人们正在研究的问题。”（MBA智库百科）【1】

我们通常认为采用多数表决是实现民主的原则，阿罗发现这个规则不能避免独裁的现象。阿罗还认为多数原则，还会产生循环优先的孔多塞投票悖论现象，虽然不总是如此，但并非罕见。

坎普布尔（C. Campbell）和塔洛克（G. Tullock）等人【4】运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。“譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7％；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50％。也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。”【2】

在选民众多时，可能的偏好选项或者候选人也多。将众多的选项减少成少数几个，可以减少选举时出现悖论的概率。这选举之前的操作，便是政治家们施展艺术的空间。这里的剪裁不通过民意，却决定了民意要关注的内容，以便民众兴高采烈地投上自己神圣一票时，不会出了政治家们画的圈子。

关于投票之前的选择，大多数民主国家采用按比例代表制的探索结果，也是令人沮丧的，尽管一些修正方法被提出，应用了似乎能避免出现阿拉巴马悖论。但是1982年巴林斯基和扬提出了数学的证明：既能反映出合理的公平原则，并且不产生悖论的代表制不存在【3】。也就是说完美的选举制度在逻辑上是矛盾的。

在这些悖论面前，是没有办法通过选举反映出社会的公意。这时政治家可以将自己意志以公意的名义得以施行。政治的博弈从赤裸裸地使用武力，运用手里的权力，进步到采用智力，利用规则营造局势，来代表群众达到目的。Knowledge is Power！

民主社会公民的权力实际不在手里一票上，而是在头脑里。没有足够的知识和信息，你甚至不知道该选择哪一个才能代表你的愿望。一盘散沙的群众往往不能走出困境，在政治家博弈技巧的驱动下，群众可以做出对未来错误或者正确的选择，这对个人和集体可能是坏的，也可能是好的。政治博弈手段可以为恶，也可以为善。下一篇举例说明政治手段是如何能让人在困境中合作的。

【参考文献】

【1】       阿罗的不可能定理http://wiki.mbalib.com/wiki/%E9%98%BF%E7%BD%97%E7%9A%84%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E8%83%BD%E5%AE%9A%E7%90%86

【2】       苏振华“公共选择的政治观：作为交易过程的政治”学术月刊 2007.8 http://file.lw23.com/e/e2/e26/e267be67-73eb-4ca1-b828-668973a3c986.pdf

【3】       Apportionment: Balinski and Young's Contribution，American Mathematical Society Feature Column，2012  http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-apportionii3