【文清慧注：下面是吕陈君先生2012.8.31投给评论园地的文章。】

关于实数可数证明的几个关键问题

吕陈君2012.8.31

我前后作过四个实数可数的证明，但现在看来都还有问题。跟沈老师用的模型一样，即无穷层满二叉树，其每一层的节点数依次为2⁰，2¹，2^n-1，前n层的节点数之和∑S(n)＝1+2⁰+2¹+…+2^n-1＝2ⁿ。我要证明的是：当n→∞时，上述等式关系同样成立，即∑S(∞)＝1+2⁰+2¹+…+2^n-1+…＝2^∞。

我第一个证明想得非常简单。无穷层满二叉树就是二进位制实数集，全体实数的个数为2^∞，所以想当然地认为∑S(∞)＝1+2⁰+2¹+…+2^n-1+…+2^∞＝2^∞+1＝2^∞(因为∞+1=∞)。

张景中院士给我指出了第一个证明存在的问题。他指出：对任一有穷数n，∑S(n)＝2ⁿ成立，但推广到无穷数∞时，∑S(∞)＝2^∞不一定成立，这里有一个“归纳推断问题”。张院士是行家，他说到了正点上。我自然就想到用超限归纳法来解决这一问题，但超限归纳法一般并不适用于实数取值，后来我就采用了张院士提出的连续归纳法，没想到张院士很快就指出了一个反例，这彻底让我死心了：即用超限归纳法或连续归纳法之类的方法是不可能解决这一“归纳推断问题”的。

沈老师用无穷层满二叉树的遍历法来证明实数可数，其实跟我的证明存在的问题是一样的，都存在着这一“归纳推断问题”，我个人的理解是：当n→∞时，无穷层满二叉树是否就能表示出全体二进制位实数，这仍是一个有待证明的问题。

我陷入了苦思之中。后来去杭州出差，在西湖美妙的湖光山色间，突然又想到了一种证明方法。这是我否证连续统假设时提出来的一种技巧，即如果我们假设自然数集N跟其无穷递归幂集合P^∞(N)之间有一双射f：N→P^∞(N)，那么当P^∞(N)≠P(N)时，即不等于N的幂集合P(N)时，则至少有一x∈N，使得x∈f(x)和xÏf(x)都不成立。但这个证明相对来说不太简洁，需要构造一个较为复杂的幂集合模型。

第四个证明就是对第三种证明方法做了简化，见《关于实数可数的一个证明及其说明》一文。当时我很得意，认为这个证明既简洁明了又无懈可击，跟论坛里的人打赌：如果谁指出我的证明有问题，我就输给每人10块钱。最近，有个网友真的指出了我的问题，看来我得输钱了，我说话算数：以后再见沈老师、何老师或论坛里的朋友时，请客都由我来买单。

这位网友指出了两个问题：一，无穷层满二叉树的节点数之和并不等于∑S(∞)＝1+2⁰+2¹+…+2^n-1+…；二，最关键的是，我假设存在某一个数ζ，使得1+2⁰+2¹+…+2^n-1+…+2^ζ＝1+2⁰+2¹+…+2^n-1+…，但是否真的存在这么个数，这是需要证明的。这位网友也是位行家，说到正点上了。他提出的这个问题现在看来还不太好解决，如果退回到第三个证明，恐怕大家更难理解和接受了。

最后，我来做个小结。现在，我们还没有找到一种实数可数的严格证明。沈老师、何老师的方法都还不能让人完全信服，都存在薛问天先生说的“犯了在推理中使用未加证明的论题的错误”。而下面两个问题，需要我们详细说明。

一，                  实数可数究竟是啥意思。我们平常说的“实数可数”其实包含了两层意思。

第一，我们能给出实数集一个自然数编码的排列，譬如何老师的十进位制计数器模型，他依次排列小数点后10¹位，10²位，…，10ⁿ位，…区间[0,1]里的实数，当n→∞时，他认为就把区间[0,1]里的所有实数都排列完了。

第二，但我认为，给出实数集的一个自然数编码的排列方式是一回事，而它是否能把所有的实数都排列完则是另一回事，譬如，何老师排列出来的其实都是有限位小数，它根本没有排列出一个无限位小数，所以它其实并没有排列出区间[0,1]里的所有实数来。

二，实数可数究竟成不成立。实数可数是违反数学直观的，所以我认为，实数在基本的数学意义上是不可数的。也就是说，实数集是不可数的，但如果我们构造出一个实数集的模型，该模型则是可数的。即，该模型跟自然数集一一对应，并在此基础上进行实数的基本演算。我们以为，该实数集模型就能表示真实的实数集，其实这是认知误区。我们构造出来的（模型）实数是可数的，而真实的实数是不可数的，即我们绝对不可能构造出所有的实数；但我们认为能构造出全体实数，这都是权益之计，没有办法的办法，自欺欺人的假设，说不定哪里就会冒出问题来了。这就是克莱因描述的“数学：确定性的丧失”。

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