【2012.7.25.文清慧注：本文是沈卫国先生投的原发论文】

论序数及连续统的可数性与正则公理

——兼谈康托对角线法及哥德尔定理

西北工业大学信息智能与逻辑研究所  沈卫国

［摘要］在前期一系列论文及著作中^{［2］［4］［5］}对实数集（连续统）的可数性、康托对角线法等问题充分讨论的基础上，对序数的可数性问题进行分析，并由此引出对ZFC公理系统中的正则公理（基础公理，限制公理）的讨论。对与斯梅尔第18问题密切相关的哥德尔定理进行了分析，得到全新结论。提出实数的一进制表示法并在此基础上讨论康托对角线法的局限性问题。

［关键词］序数  康托对角线法  连续统  可数  正则公理  哥德尔定理  一进制实数  直觉主义悖论  丘奇悖论

笔者在以往一系列论文及著作中，已经通过揭示康托对角线法的隐含前提条件，对实数集（连续统）的可数性问题进行了相当详尽的分析^{［3］［4］［5］}，本文不拟重复。但对序数的可数性问题，基本没有涉及。著名的希尔伯特第一问题即连续统假设是问：连续统是否与第一个不可数序数等势。可见，除了直接指出连续统的可数性以外，对序数的可数性进行分析也是有必要的。本文拟在此方面进行更为深入的探讨，以期得到更深刻的结果。

一、超穷序数的可数性问题与正则公理

众所周知，康托的超穷序数理论，依赖于三个“序数生成原理”：

第一序数生成原则：对一已给定的数，可增加一单位。如从w，可得w+1；

第二序数生成原则：给定任一有特定顺序，但其中无最大元素的集合，可以作为原集合的极限或后继者而得一新数，如从整数集合1，2，3，……，可得w；等等。

第三序数生成原则（限制原则）：它保证一个新数类的基数大于前一数类的基数而且是第一个这样大的。^{［1，P275］}康托反复运用这三条序数生成原则，得到超限（穷）序数1，2，3，……，v，……w，w+1，w+2，……v₀w^u+v₁w^u-1+……v _u－1w+ v_u,……，w^w，……w₁，……w₂，……w₃，……等等，其中w₁被普遍认为是第一个不可数序数，而且是一个基数。^{［1，P275］}有关文献给出其证明如下：

如不然，即w₁是一可数序数即 ≤ ，由定义w₁＝｛a|O_n（a）∧ ≤ ｝

其中：O_n表示所有集合的类； 、 表示基数。就有w₁∈w₁，这与正则公理（基础公理，限制公理）的推论“对任一集合，都有x x成立”相矛盾，因此得证。^{［2，P21，P69］}

其中引用的正则公理的形式化表述为： x（x≠φ→ y∈x z∈y（┐x∈x））

也即：对任一不空集合x都存在它的一元素y，y的任意元素都不属于x。换言之，它肯定任一不空集合都有一极小元。也可称为“极小元原则”。^{［2，P147］}

正则（基础）公理是为了消除法国数学家米里马诺夫（D.Mirimanoff）于1917年提出的一个悖论而产生的，该悖论涉及所谓“基础集合”，它的定义是：设有基础集合x，其中没有任何集合（不一定都不相同）的序列y₁、y₂、y₃…使得…y₃∈y₂∈y₁∈x，设W为所有基础集合的集合，假如W是基础集合，则W∈W，因此……W∈W∈W，从而W是非基础集合；假如W不是基础集合，那么根据定义存在一串集合y₁、y₂、y₃……使得……y₃∈y₂∈y₁∈W，因此y₁不是基础集合，所以不属于W。

为了排除这种集合，冯·诺依曼引进了正则（基础）公理：每一非空集合S包含一个元素t，使得S和t没有公共元素。

由于这条公理，没有集合包含自己为元素，因为若S∈S，则｛S｝与正则公理矛盾，从而消除了上述悖论。^［3］

事实上，该公理限制过严，并不必要。笔者在文献［3］中已有过论述。

按康托素朴集合论中的“概括原则”，对成为集合的条件不加限制， “会产生满足矛盾、悖论条件的集合”，显然也是条件，因此产生悖论是必然的。这就是康托素朴集合论产生悖论的最本质、最直观的原因。因此，为了得到不产生悖论的集合（当然只是一部分集合），引入限制条件是必须的。同时，由于基础集合的提出，产生了米里马诺夫悖论。事实上，经研究笔者得到结论，消除它不只一种办法，而用正则公理去消除，限制太严，并不必要（充分而不必要）。其实，我们只要有一条限制很少的原则：所有基础集合之集为

都是基础集合

这样，X为非基础集，完全可以有……X∈X∈X∈X。而正则公理必然得到的X X，限制太严。

我们知道，ZFC等公理系统的内部无矛盾性并没有被证明，因此这里也无须担心，限制过少，可能会产生矛盾的问题。因此，这里可以提出一个消除悖论的原则：以最小的限制条件去消除具体悖论。也就是在对各种消除方案对比后，取最小代价的那个。

由此，我们不必仅仅为了消除米里马诺夫悖论，就不允许“全集之集”存在。“全集之集”显然绝不可能是不包括自己为元素的集合。不包括自己为元素的集合，只能是全集之集的子集。

正则公理的提出，与康托本质上是潜无穷的超限数理论相协调，但却直接违反了康托实无穷观点的初衷。同时在取消正则公理后也不必再要求任一集必有最小元。我们知道，实数集可有闭子集和开子集之分。左端（数小的那一端）开子集，显然就没有最小元。正是由于正则公理并不是绝对必要的，因此，序数w₁的不可数性，正如连续统的不可数性由于康托对角线法依赖于隐含假设一样，并未像以往人们通常认为的那样被证明。而序数w₁的不可数性，也严重依赖于并不必要的正则公理这一前提条件，因而不能认为像传统上广泛接受的那样已被证明（不可数性，是在任何前提条件下均应具有的性质，而不能依赖于特定前提）。^{［3］［4］}

同时由序数的定义，所有的序数要都可数，一个办法是取消第二、三类序数生成原则，但这限制了数类的产生，就如用不允许使用实数来限制产生不可数集一样。第二个办法是限制（改变）正则（限制、基础）公理。因为序数w₁的不可数性是由它来保障（证明）的。实数集可数问题也类似：不用康托对角线法所要求的“如果实数集可数就可排成有首元素的二维表（见图1）”，于是再在对角线上产生一个实数就是不可数（这等价于正则公理）的限制。还有一个办法，就是不再用对角线法及对角线生成法产生新类型的实数，而用丰满二叉树的类先广遍历法去数。^{［3］［4］?}对角线法“认定”按图1要求排列后在对角线上产生的新实数，不能再加进表中去数，即不可数的隐含定义，等价于正则公理，因可数与不可数不能有“不可数∈可数”的关系，而实数集如可数，必修改正则公理。

总之，使用序数的第二、第三类生成原理，可生成w₁（全体可数序数之序数）并保证其为第一个不可数序数的基数。又由正则公理及其推论，可证其不可数。所以，有不可数序数的充要条件为第二类生成原则（产生w₁）、第三类生成原则（保证w₁的基数为大于w的第一个）及正则公理，三者缺一不可。所以如要做到无不可数序数，即序数都可数，一方面可以取消第二、三类生成原则（当然取消第二类生成原则失之太严），另一方面可以取消正则公理。相比于对角线法，序数的第二、三类生成原则相当于对角线生成法则及其所依赖的位数与所列实数个数的n→n对应原则（隐含的）；正则公理（及其结论序数不可数）相当于“规定”可数只能按图1方式排序，不能按图2方式排。

?

图1                                

                   图2

顺便提一下，康托对角线法，只证明了按图1排法不能穷尽整个实数集。人们常说，即使你把对角线上所产生的实数再加进表中，仍可用对角法，所以仍不可数。也就是仍有（总有）表外的实数存在。人们往往到此为止，满足于这种回答，但它实际并未证明如此不断添加实数的过程，不停下来，不断“数”下去，可否穷尽实数集？即使一个已知肯定“可数”的整数集，仿上述过程，我们将整个偶数集列成图1那样的一张表，再不断如图2那样不断往上加奇数，不是也不能真的“数尽”整个奇数以至整数吗？也就是总有奇数在此表外（当表往上的奇数看成有限时），这与将由对角线上产生的实数加于图1表上面成为图2、图3的情况，又有什么本质区别？

总之，康托对角线法，为何只能按图1排列才算可数，而按图2之类的排列就不行，是需要一条公理的，而这等价于正则公理，即人为定下不可数基数（强行），图1排法为“只有如此排才可数，多一个也不可数”，所以康托对角法的陈述，“如实数集可数，就可将它排成一列”太随意，而实际做到的是“就只能将它排成一列”为公理性质的命题。而实际可数的东西很多，完全不一定只排一列。

二、可数概念的时序性及非空间性?

我们也可以更本质地看这一问题：把实数按图1方式的顺序排列，就排列的空间而言，等于承认正则公理，可称为“空间位置正则公理”，即位置集合有最小、最初始的位置。然后就位置而言，是一个序数关系，可称为“位置序数”，而且是（位置关系）良序的，但不是按实数的大小排序或良序的。

而“可数”，必然是一个一个地去“数”，如果我们严格地按位置顺序去数，总有第一个，所以就位置而言，必有最初的，也就是最“小”、最先位置，所以是符合位置正则公理的，也是位置良序的。但就空间位置而言，必有某些或明或暗的“位置关系”存在。比如对角线法要求的实数位数与实数个数间的一一对应关系，这不能不意味着实数按这种方式排序不可能被穷尽。但“数”隐含不一定非按固定空间位置顺序数。所以“数”、“可数”与否，严格讲只与时序有关，即时间有序、良序即可（而时间当然是有序的），与按什么空间位置关系去数无直接关系，也就是完全具备不使对角线法可用的数法。“时序正则公理”，比如图2所示排法就空间位置而言不满足正则公理，但在时序上是满足正则公理的，只要交替上下位置去“数”即可。所以“可数”过程即意味着把空间位置有最小元的，或空间位置无最小元的，都按时序排列即“数出来”。

康托对角线法问题的本质，是强行要求按某固定位置的顺序去数，即位置序数与时序一致，这样无意中引进了新的对应关系，出现“不能数全”的问题，比如整个实数集因其子集可开可闭（有二种），正则公理对闭集成立，对开集不成立，所以要可数，不能要正则公理，因正则公理要求任何集都有最小元。

三、“可数”、“不可数”概念分析

显然，就“可数”、“不可数”概念本身而言，并不是数不完就不可数。自然数也“数不完”，但可数。而是必须找出按任何（无穷多种）对应方式数，明确数不到的那些数才行，而这实际上实现不了，因涉及无穷甚至“不可数无穷”种对应方式，根本无法一一证明（注意，按某种或某几种具体方式去数数不到，不是不可数）。因此，超限序数当然数不完，但这不就是不可数，而是必须指出有什么数永远数不到才行，而且是任何方式下的。于是，我们还可发现，康托对角线法未证实数集不可数的一个原因（理由）即虽原列法（n→n对应原则）^{［2］［3］}不能数完全部实数，但把对角线上新产生的那个实数再加进队列（通常即放在最上面）并反复如此操作去数，能否数完，并没证明。加进去，当然再用对角线法，还会产生新的实数，但这与数自然数数不完有何区别？未证明。所谓“初学者”往往提的简单问题^{［2，P124］}，并未被正确回答并搞清。即原先普遍认为，如果实数集可数，必可列成图1所示方式的列表，这不对，即此表不行，并不一定就不可数，只是如按图1排列可数出就一定可数而已。

在上面分析的基础上，我们会更清晰地意识到：

1、正则公理与对角线法的隐含关系，是否等价于不能把对角线上产生的实数加入对列，再数，并不断数下去这一公理？过去认为很自然的，实际上要一条公理去保障，所谓“初学者”的疑问并非没有道理。过去认为“初学者”明显错（你放上去新数后，还可再用对角线法，来证不可数，但这是要公理保障的。因为也可以是“用了对角线法，再放上去数”）。

2、正则公理明显太严，它要求最小元，但对无限集，完全可以没有“最小元”。因子集可有无限个产生法，产生一个子集，将其添加到右边前集中就可有……x₁∈x₂∈x₃∈x₄……，甚至在正则公理下，实数集都不能被完备地表述出来，显然一个左开（数小的一边为开）的实数子集，是没有最小元的。因此正则公理对数学系统的限制太大，不应保留。

传统上一般认为理所当然的也许是，可按时序排出的，当然也可按空间位置排出，二者没有什么区别，严格区分它们并无意义。但事实上我们已经看到，二者不是一回事。严格讲，时域的序与空间域的序并不是一回事，之所以要区分二者，是因为时间只能是一维的，而空间域是二维甚至三维的，它会产生一系列空间关系，比如康托对角线法中无意中被引进的纵列的实数个数与作为小数表示的实数的位数（横向排列）间的一一对应关系，所以空间域中所能表达的信息，并不能完全地在时域中表达。也就是，空间域中的一些关系，在时域中被掩盖，比如康托对角线法中的那个位数与实数个数一一对应的关系，在单纯的时域中，如何表达？显然不行。有人也许会争辩说，空间域中再“无序”的元素，一旦按时序排列，那它们也就立即可新组织成空间域中的新建立的序关系，因此二者并无区别。我们说，这当然可以，但“可以”并不是必须，时间域的序关系可以对应于空间域位置上的序关系，也可以不对应，如果必须对应，显然需要一条公理性质的“规定”

由于这个问题的重要性，我们这里可再次强调：实数的按图1次序的排列，有开始元素，可视为空间位置有最小元（仅就位置编号而言），空间位置（不考虑具体实数的数值）符合正则公理。而按图2方式的排列显然不符合。对角线上新产生的实数放在上面，再用对角线法，总将新产生的实数作为首元素（空间位置最小元）放在表上边，这意味着正则公理总适用，再加对角线生成法等价于序数第三生成原则，所以按这种方式不可能数尽实数（参见图3）。而反之，向上不断增加的所有实数可作为实无穷看待，则正则公理不适用。那么，如果将向上的无穷多个实数每隔一个地相间插入下面原先的实数中，不就又可以用对角线法了？操作上当然允许这样做，但这只是这张表上的实数总数不变，位置关系变了，这意味着小数位数与实数位置的对应关系变了，变得又可以用对角线法了，所以这种变换不是无条件的，是需要公理保障的，这一公理即正则公理，否则就不允许如此操作（变换），因此图3上方此时应看成是实无穷的，由对角线法不断由对角线上产生的实数，即在这张表中。即这里对角线法并不能证明实数不可数。再一次重申，此时向上方向取实无穷看法。

正则公理与序数第二、三生成原则（这里对应于对角线实数生成原则），为证明实数、序数的原先被认为的所谓不可数（实际是按这种方式不可穷尽）的充要条件，没有它们任一个，则证明不了，但实数、序数的可数性，也并未自动就证明，所以还要有其它证明办法。

四、全体序数（特别地w₁）可数性的证明问题

由于有了以上分析，我们知道所谓w₁以上的超限序数的不可数性证明，严重依赖第二、三类序数生成原则及正则公理。并且我们也知道，正则公理并不是必须的，它对数学基本要素限制过严，因此并不必要。这就为全体序数的可数性证明奠定了现实基础。我们这里可提出如下证明思路。

前文我们已经明确：数到任何有限步后，还有未被数到的数，并不是不可数。而只有明确指出有实数永不能被数到，才是不可数。但由此我们看出什么数可被数到与不会被数到，是严重依赖具体的数法的。这由笔者对康托对角线法的分析即可了解。^{［2］［3］}如果硬性规定：只有按康托那样排列实数（见图1）——则对角线法可用，也就是有首元素的排法（满足正则公理）——才是“可数”，会产生新的实数（原“表”外的），而按上述定义（规定），这就是不可数了，也就是不可数被“证明”了。但这里必须注意，这个“不可数”概念是改变了的，因为原先一种方法数不出，并不是不可数。但如果按无首元素的排列即图2的排法（不满足正则公理），则康托对角线法不可用，实数集的不可数性没有被证明，换言之，这里实际是规定了（定义）在图1所示康托对角线法可用的系统中，由对角线法产生的新实数，被不断添加到表的顶端，然后再用对角线法，再将新数放到表的顶端……，这种生成过程，可以被认为就是在不断地“数”，这样，虽然没有证明实数集可数，但起码实数集不可数也没有证明。

下面，给出序数甚至是所谓超限序数可数性的证明思路。

由第一序数生成原则生成的序数，当然可数。由第二序数生成原则生成的所有“数类”（如w，2w，w²，w^w）也是可数的，否则这些数类是不可列出的，也就是不存在的，这是“生成”的本意。至于哪些是新数类，哪些不是，见下例。

新数类，1是，2，3，4……不是；w是，w+1，w+2，……不是；2w是，2w+1，2w+2，……不是；3w不是 ,4w不是，5w不是；

w²是，w²+1不是，w²+2……不是；w²+w是，w²+w+1不是，w²+w+w＝w²+2w是；w²+w²＝2w²是，2w²+1，2w²+2……不是；3w²不是，3w²+1，3w²+2……不是；4w²不是，4w²+1，4w²+2，……不是；5w²不是，6w²不是，……；w³不是，w⁴，w⁵……不是；w^w是，w^w+1，w^w+2，……不是；w^w+w是……，……

如把所有可用w表示的序数归于一类，由其上又有新数类w₁，w₂，……等等，其间当然还有w₁+1，2w₁，w₁²，w^w等等。

于是我们这样来数序数：在每个已数过的数类中按第一生成原则产生的那些序数各数一次后，加数一个新的数类，反复做下去，由于数类可数，此过程必可数。而如果我们不是在每一个数的周期后数一个新的数类，则尽管可无穷数下去，但显然，不可能穷尽所有数类，这也就是第三序数生成原则所做的，它本质上是一条公理，就是限制我们数到w₁之上，然后再谓之“w₁不可数”。

注意，w₁作为一个新数类，是第二序数生成原则“生成”的。如果不将第三序数生成原则看作公理，则上述超限序数的证明思路（数法）等价于对实数的数法的丰满二叉树先广遍历数法^{［2］［3］}，也就是实数集可数的证明法，见图4，只要每一层都新加一个新数类即可。这里，我们将丰满二叉树中的节点看成序数元素，如果我们将树的层数对应成位数，则这一结构可看成是一个累进进位制的数。即一层二进位制，二层四进位制，三层八进位制……。如此数下去，我们不可能找出我们数不到的那个或那些序数。换言之，任何给定的一个具体序数，早晚都会被数到，不像康托对角线法那样，可以找出一个不在给定序列中的实数。同时，由序数按第一、二序数生成原则生成的完备性（本身即由其定义）可知，序数可数得证。

这里对w₁的地位，再予以更详细的讨论。我们说，由于第三序数生成原则及正则公理的可用与否，w₁含义依我们选择什么原则、公理而有不同。

3）如果第三序数生成原则与正则公理都不允许用，则w₁即是所有序数（此时自然也是可数序数）的集合，w₁之后的w₁+1，2 w， w₁， 等等不再允许存在。此时，在丰满二叉树中，只有含w的序数，没有w₁，w₂等出现，可把这棵树整个地命名为w₁，而不是其中的某一节点。w₁此时不再是序数，只是集合。

五、勒贝格测度与连续统的可数性问题

连续统有测度（长度）的根本原因：每一点虽无长度（长度为0），但点却有位置（在线段上），连续统上的点（即实数）是稠密的，所以任何位置都有点（实数点）；而整数、有理数的点虽也有位置，但并非任何位置均有整数、有理数，因此，可用实数的位置差来定义长度。

但在勒贝格测度论中，测度的可加性只有与可数概念相联系才有意义，这与现有理论即实数集（连续统）不可数的理论有根本上的矛盾。由此，勒贝格才不得不作为公理单独定义长度的测度。也就是说，在现有传统理论中，线段的测度不是分布在它上面的那些点的测度之和，因为点的“长度”为0，可数无穷个点的“长度”之和仍为0，而连续统又不可数，不可数没有“和”，即使有，也没有理由不为0。同时，如将长度测度看成为点的位置之差即“距离”，传统理论也不行，因为如是连续统中点的位置差，则这种位置在传统理论（康托理论）中是不可数的，无可加性；而如不是连续统中的点，比如有理点，又会有位置“空隙”，不完备。只有在连续统（实数集）可数的条件下，这一切矛盾才会自然消除。

此一问题在实数集（连续统）可数前提下的解决，对实变函数论、勒贝格积分等问题，有重大的理论意义，它消除了现有数学理论中的内在不协调性及非自然性。

六、康托对角线法中的逻辑问题分析及一进制表示法下的实数列表中对角线法根本不可用的问题

一旦意识到康托对角线法依赖特殊的对应方式（作为整个推理的前提）^{［3］［4］［5］［6］［7］［8］［9］}，我们立即可以看出它的“反证法”推理过程中的明显的“初等”形式逻辑错误，即“论据不足”的错误。或更明确些就是充分条件假言命题的“充分条件假言推理的否定前件式”的错误：如果整个实数集可以按此对角线法所要求的方式被列出，则整个实数集可数；但现在整个实数集并没有按此方式被列出，所以，整个实数集就不可数。显然，“不能按对角线法的原则、方式被列出”，并不等于不能按其它原则、方式被列出。当然，我们还可以将整个推理变通成一个“肯定后件式”，同样可以看出问题：如果实数集不可数，它就不能被列出；现在实数集未被全部列出，则它必不可数。显然，“现在”未被列出，不见得用其它方法也一定列不出。此例倒是可以作为一道典型习题留给初次接触形式逻辑的学生去做。当然在过去，这一错误是“隐含的”，所以并不像现在这么直观。由此我们可以充分意识到，一个表面上看似严密的推理及证明，尽管被“公认”那么多年，仍然可以是多么地脆弱。康托对角线法问题作为一个实例，真是值得很好研究。如何防止类似情况在其它“证明”过程中出现，不能不是逻辑界、数学界的一个很有意义的课题。

总之，康托认为他的对角线法所依据的反证法的逻辑是这样的：“如果实数集可数，那它就应该可以被一一列出（注意，康托在这里忽略了作为假设，其实实数集的任一无穷真子集也是可以被一一列出的，并不是惟有整个实数集才可以有此假设的）；而一旦找到一个在此队列之外的实数，则证明整个实数集不能被列出，即实数集不可数。”此证明过程看似天衣无缝，毫无破绽。但此反证法如果要严格成立，不但必须要在假设中明确加上“惟有整个实数集才可如此被列出”这一命题，还应有一个不能被反证法否定的“大前提”，即“实数集的任何无穷真子集，都不能如此被列出”，这样在找到一个不在此列的实数后，才可能排除虽然否定了“惟有整个实数集才可如此被列出”，但却可以得到“所列其实为实数集的一个无穷真子集”（如此，则并未证得整个实数集不可数）的结论，而明确得到整个实数集（当然由所设“大前提”，也包括实数集的任一无穷真子集）不能被如此列出，而作为命题，由已设“大前提”，所列实际为实数集的一个真子集又不被允许，进而才可得到整个实数集不可数的明确结论。但我们知道，康托对角线法的证明过程中，并不包括这一“大前提”，而且它也不符合实际情况，即实数集的真子集其实是可以被列出的，这是现实，不可否定。因此由前文分析可知，由于康托对角线法的特殊的对应方式（在人们认识到它的重要性以前，可以认为是隐含的），康托排列实数的方式是特殊的、有前提条件的。而康托在对角线法的反证法的逻辑表述中，并未提到这一点。所以康托实际做到的不能不是，要么：1）如果实数集可数，就可以（但不必须，因为还有其它的列出方式）如对角线法所要求的那样以一种特殊的方式被列出，而一旦证明有一个实数不在此队列中，只能证明这种特殊的列出方式不能列出全部实数，而只是列出了一个实数的真子集。因此如要证明实数集在任何方式下均不能被一一列出，还必须证明在其它列出方式统统也不能列出才行，而这当然不可能，因有无穷种不同的列出方式，根本无法穷尽。另一种情况为：2）如果实数集可数，就必然只能唯一地按对角线法所要求的特殊的对应方式被列出，一旦证明有一个实数在此队列之外，表面看就唯一地证明了实数集不可数，但所谓“只能唯一地按此特殊方式被列出”本身，也需要证明。就算这是个“定义”（硬性规定），但此定义已经与康托原先的可数定义不同了，原先并无特殊的对应方面的要求，而这里已经被限定在了一个具体、特殊的对应关系上了。这里之所以包括两种不同的情况，是因为在康托对角线法的前提条件被揭示后，康托原先的“反证法”中对命题的陈述就显得模糊了，它可以包括这两种不同的情况，因此必须分别讨论。总之，正确的逻辑应该是：如果实数集可数，它就可以以某种方式（当然不是所有方式）被排出；而对角线法是依赖于特殊的一种排列方式的，因此，即使按此方式排不出，也不能证明什么，明确说就是并没有证明按其它方式是否也排不出的问题。而康托对角线法的真实逻辑是（原先是隐含的）：如果实数集可数，它就可以以任意（任一）种方式被排出，如排不出，即不可数。显然，这是错误的。一个无穷集的可数性不是任意去排都可以排出的，以有理数集为例即可明了。

康托对角线法的另一问题是：有人总说先假设了实数集可数，反证，导出矛盾，得到实数集不可数的结论。但实际上如果假设队列只列出一个实数的真子集（不再是假设整个实数集可数），对角线法仍可用，但此时只能证明先前所列整个实数集的真子集的确是个真子集（未穷尽实数集），并未直接证明整个实数集就不可数了。因为并未作此假设。因此时并不能排除用其它排法列出整个实数。只证了这样排不行。此两个结论，在对角线法的证明中无法区分（一种方法，假设不同，得到两个结果），由“实数集可数”的假设进而得到实数集不可数的结论，是隐含了一个“实数集可数，就只能如此排法”的假设，因此可认为无效。除非加上隐含前提：实数集如可数，只能如此排列，否则即不可数。而此条件并未出现在康托的证明中。同时事实上，完全可以不如此排列。

实数集可数，其实很简单，只要放弃对角法的n位→n个实数的对应原则，而是数过n位时，就保证同时数过2ⁿ个竖列的实数，而且其二进制排列组合完备。换言之，n位内对角线上求反之排列组合，均会出现在2ⁿ个竖列实数中。这等于不再允许使用对角线法。形象比喻，既抛弃了n位→n个实数的对应原则，此表就由“正方形”（无穷意义下的）变成了“长方形”（无穷意义下的）。数正方形可，数方形为何不可？但显然，只有“正方形”才有对角线，“长方形”是没有的，笔者在文献［4］［7］中都曾提到这一问题，可参考。事实上，莫说无穷位及无穷多个实数，即使有限位的有限个数，也有此问题，对角线法也并非不适用。比如3位二进制数，共有8种不同排列组合，就有8个不同的有限数。对角线只能达到其中前3个，由对角线上求反得到的那个，不在前3个之中，但必在后5个之内。总不能说只能“数”前3个数而不能“数”到后5个数。将此意扩展到无穷序列，本质上一样。

此外，事实上如果我们假设存在于一个二维表中的任一实数，则其补数（小数点后面各位依次求反）也在表中。这样，不要说对角线上的实数每位求反后得之的实数不在此“正方形”中，就是对角线上的原实数（未每位求反的），也必不在这个“正方形”表中。读者可自行验证。这与其说证明了实数集不可数，还不如说让我们看到了作为证明基点的这张含对角线的“正方形”表的局限性。

除了前面及笔者在一系列的文献中提出的实数集可数的证法外，我们取实数的一进制写法如下：

二进制小数点后的第一位，一进制对应第一位；二进制小数点后的第二位，一进制对应第二、三位；二进制小数点后的第三位，一进制对应第四～七位；二进制小数点后的第四位，一进制对应第七～十五位；……

十进制5

其后，如此取与二进制对应的一进制数，如二进制0.101，则一进制0.1010111；

十进制5        二、三位 四～七位

十进制10

如二进制0.1010，则一进制0.1010111000011111；……，依理类推。之所以作此“规定”，是为了保证每个实数的唯一

十进制10                     七～十五位

性。同时规定一进制与二进制的每一位相对应的那些位的有效数位（即由“1”占据的位）由右而左依次“进位”。显然，上述一进制实数表示，与二进制可表示的实数比一点不少，完全对应，但这里再无对角线上求反的实数存在，因在一进制下，根本没有补数，而且求反后的“数”，违反前述规定。比如，七～十五位上的“1”的排列为“000011111”，求反后为“111100000”，这是违反有效数位由右而左的规定的，是非法数。因此，由这样的一进制实数排出的表，对角线法不可用。可见，对角线法与数制有关，而实数本身，与数制无关。这说明康托对角线法严格讲只证明了在二进制以上的进制下表示的实数在那样的排序下是不完备的，而一进制下如何，它未证。有人如硬说证了二进制下的，就等于证了一进制下的，那就必须给出理由。须知，二进制下的实数不可在那样的一维表中被全部列出的结论，只是在二进制下得到的，不能证明一进制下的实数就不可全部列出。事实上，在前面提到的“长方形”列表或一进制下的列表，我们完全可以证明实数集必可数：如不可数，必有存在一实数，其有限位内的二进制排列（或一进制排列）不出现在已列表中，但由我们前面的构造法，已经保证前n位的2ⁿ种不同排列组合都在表中了，所以，必没有任何一个实数会被遗漏，实数集（连续统）可数得证。

在一进制下，不但康托对角线法的每位求反后的数不存在，而且即使对角线上的数也不存在，因为对角线上的每位的排列组合不符合原先对一进制的规定，属于非法的，因此这种“二维表”，纵、横向都是一进制下的，纵向实数个数，以位置算，有一个实数占一个位置，当然可认为是“一进”的；横向的位数，也是一进位，二者一致，不存在对角线上还会出现实数的问题。而在原先的横向位数的二进制下，才会产生对角线上产生或本身存在合法数的问题，也才进一步产生此数在或不在原列表中的问题。我们可在一进制下证实数集可数：设此表所有有限位下的排列均出现在此表中。这完全可以做到。如不可数，必起码有一实数不在此表中，该实数必在某有限位内的排列组合形式不在此表中出现。但前面已设该表的生成办法就是所有有限位都在表中出现，由此证明所有类型实数都在此表中出现，即实数集可数。得证。总之，一个“对角线上”的“数”为“非法数”的二维表，在一进制下是必然的，这也就保证了所列实数表的完备性，即不存在表外的实数。这充分说明以前人们普遍存在的“既有对角线，对角线法必成立”的“想当然”的想法是错误的。

从另一个角度看，在二进制实数表中，如果对角线上的实数（指未进行求反操作的）已在表中，则其每位求反后得到的补数必不在表中。于是，康托对角线法中原先被普遍认为的对实数排列的无任何限制，实际是隐含限制的：或者对角线上的实数及其补数都不在表中；或者其补数不在表中。这样的限制条件等于如此来构造这张实数表：先列出一个实数，再把它先另列在对角线上，然后再填满这张表。如此，这个实数的补数必不在此表中；或者先直接列出对角线上的一个实数，再保证它及其补数不在此表中。以上对这种特殊的实数表的构造，实际与对角线法等价。所以与其说对角线法“证明”了无论怎样去构造这张实数可数表，必有实数在表外（不可数），还不如说无意中加进了与对角线上实数有关的外部条件，也就是不允许再在表中出现与对角线上的实数有关的实数（其补数；或其本身及其补数）。毫无疑问，我们是在这里“主动”而目的明确地构造一个实数的真子集，而不是像我们原先认为的在证明实数集不可数，因后者要求不能对所列实数表中的实数有任何的限制、取舍（我们已经看到，实际是隐含这样的限制、取舍的）。另一个与此有关的可能的困惑是：一进制实数与二进制实数必可一一对应（因实数总数与进制无关），那么，究竟是二进制（或多进制）下的对角线法证得了一进制下的实数集也不可数，还是由一进制下对角线法的不可用进而一进制下的实数集可数，然后证得二进制下的实数集也可数？可看出，一进制下对实数及其“补数”的“进表”无任何限制（一进制下根本无补数），它的证明当然符合要求。对应于二进制情况，就是对角线法不允许使用。如果此表有对角线而不许用对角线法，太过武断，那么，只能认为此表不存在“对角线”，也就是此二进制实数表在趋于无穷时，是“长方形”的而非“正方形”的。如上讨论，实际可看成是康托对角线法不可用于证明实数集不可数的一个证明。