Zmn-1223 薛问天: 错误在于没有证明和证明不了映射是【满射】。评李鸿仪先生的《1222》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1222》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

错误在于没有证明和证明不了映射是【满射】。

评李鸿仪先生的《1222》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，李先生【证明】的错误。

分析一下李鸿仪先生给出的【从自然数N到实数R的映射是双射】的所谓【证明】。可以明显看出有两个错误。

第一，没有证明是【映射】。

要证明实数可数，必须证明存在一个从自然数到实数的映射f:N→R，是双射，即证明f是单射和满射。当然首先要证明所提出的f是映射。即证明对任何自然数n都有确定的实数f(n)与n对应。李的证明中缺少这个内容，是错误的。不过这很容易补证。主要根据【R是无穷集合】。因为顺次由自然数n=1开始对应，如果对某n，发现实数己对应完毕 ，再没有实数与其随机对应，根据有限集的定义说明R是有限集。产生矛盾。因而证明了对任何自然数n都有确定的实数f(n)与n对应。即f是映射。

李先生用定义中规定【如果某一次取到的数以前已经正好取到过，这次操作就算作废，必须重新取。】来证明f是单射，这点是对的，但必须先证f是映射。不证就是错误，不过比较容易补正。

我己指出，这就是一个很重要的定理【任何无限集合，都可证存在可数子集】。即任何无限集合都存在有子集同自然数集合一一对应。

关键就是这个子集能不能证明是全集，李先生的错就错在这里。

第二点错误，李先生没有证明映射f是满射，而且这是证明不了的。任何N到R的映射都不可能是满射。也就是说他的证明是错误的。我们来分析他所说的这段话错在哪里，他说【由于f是随机函数，所以不可能有一个数是永远取不到的，或者说没有一个人能找出某一个具体的小数是用随机方法永远找不到的，而任何一个用随机方法找到的实数都马上用自然数编号了，即∀r∈R，∃n∈N 使得 f(n) = r成立，这样我们就证明了从自然数到实数的上述单射也是滿射。证毕】

关键就是这个推理【没有一个人能找出某一个具体的小数是用随机方法永远找不到的，而任何一个用随机方法找到的实数都马上用自然数编号了，】用随机方法能找到实数，这没有问题，但为什么【都马上用自然数编号了】？我要问李先生，在自然数到实数的映射中如果同某真子集的一一对应中把自然数对应完了，此时你拿什么自然数对你找到的实数进行编号。那种认为一一对应用不完自然数的说法是站不住脚的。因为一一对应要求每个自然数都要有对应，当然是所有的自然数都对应完了。你保证不了在f这个对应下，是不存在有真子集同自然数一一对应，就保证不了一定还有多余的自然数能用来编号。就没有证明这是【满射】。所以说李先生的证明是错误的。

至于我说你证明不了满射，那是因为康托尔己严格证明了实数不可数。你不可能证明它是双射。

二，康托尔定理【实数不可数】的对角线证明是正确的。

李先生质疑康托尔的证明，说【″证明"了小数不能与表示小数位数的列标集一一对应，并没有证明小数不能与表示小数个数的无限大长方形矩阵里面的行标集一一对应。】

错了，康托尔就是用反证法证明的，在反证法的假定下，所有实数能与自然数一一对应，即【所有小数能与无限矩阵里面的行标集(自然数集)一一对应】。康托尔正是找出矛盾，推翻了此假定。证明了【实数不可数】。

我们己在《1219》中指出了《1218》文中的错误。李先生用所有的有穷小数形成的他的【李氏无限大长方形方阵】，同对角线证明在反证法实数可数的假定下形成的【无限矩阵】根本不是一回事。根本是在无的放矢对不上号。

三，对于我说的〖李先生所说的【我们找不到任何一个实小数是不能用随机方法取到的，所以任何一个实小数都是可以对应到某一个自然数，】前半句正确，后半句就是错误的"其理由是因为自然数可能对应于某一个实数的可数子集，然后自然数用完以后就没有自然数可以对应实数集剩下的元素了。〗

李先生提出如下问题，我可以明确回答。

李问【①实数集合中当然存在很多子集，但既然取数的方法是随机的，为什么老是取同一个子集内的元素，】

要明确是你在证明，就要对各种可能都要考虑进去。在所有的可能性中有这样一种可能，就是在对应中同实数集的某真子集一一对应完成。如果发生了这种情况，你怎么办？你能保证这种情况永远不会发生吗。保证不了，就要回答，如果发生，怎么办？

李问【②既然全集中任何一个元素都早晚可以被取到，而一旦取到以后马上用自然数编号，且不同的实数用不同的自然数编号，难道不就形成了一个R→N的单射？ 自然数是无限多的，怎么可能用完？你能说出到哪一个自然数，自然数就用完了吗？简直乱弹琴。】

我刚才己经说了，这不是乱弹琴，这完全可能发生。在所有的可能性中有这样一种可能，就是在对应中同某真子集一一对应完成。如果发生了这种情况，你怎么办？既然是同某真子集一一对应完成，一一对应当然是所有的自然数都有对应的实数了，尚无对应的自然数一个也没有了，当然是在对应中用完了所有的自然数。请问李先生既然是真子集当然是还有实数未在其中，对于这样的实数，你用什么自然数来对其编号？这么简单的问题还不清楚吗？

李问【④即使自然数与某一个子集一一对应了，是否意味着自然数用完了？比如把N改写成{1，3，5...2，4，6...}如果另一个一模一样的自然数集合N与其中的奇数子集一一对应了，是否就意味着自然数就用完了，偶数就没法与自然数对应了？】

显然这是在强词夺理。关键看看你的f是怎么定义的。当你把N={1,2,3,...}的一一对应完成后，n={2,4,6,..}所有的偶数当然都己经有对应的实数了，还能再改写成用N={1,3,5,...;2,4,6,...}来进行映射吗？要知道映射开始时N的定义就规定好了，怎么能在映射执行中随意改写呢？

李先生又接着说【而且，既然自然数可以通过加1不断增加，当然永远用不完：即使因为与某一无限集合一一对应似乎用完了自然数，仍然可以通过加1动态地产生新的自然数以供使用，所以实际上永远用不完。这其实是问题的根本！】

这更是错上加错。关键是你既然承认自然数N同R的一个真子集一一对应，那就是承认N的所有的，每一个自然数n，毫无遗漏地都同这个真子集的实数建立了对应关系。那么你又说【即使因为与某一无限集合(即那个真子集)一一对应似乎用完了自然数，仍然可以通过加1动态地产生新的自然数以供使用，】那么岂不是对这个自然数集N，並没有做到【N同R的一个真子集一一对应】，与你【承认N的所有的，每一个自然数n，毫无遗漏地都同这个真子集的实数建立了对应关系，】发生了不可抗拒的矛盾。

四，对李先生所提出的其它一些莫明其妙的指责的回答。

1，李先生说【①用没有证明过的命题来反对别人的命题，比方说他说无限能够完成，却从来没有给出过严格的证明，】

这就是李先生的极不严肃的话语。要知道李先生常说的一句话就是【无限是不能完成的】。反映了他对无限的一种错误观念。把【无限】同【不能完成】错误地等同起来。我不是用证明的形式方法，而是用客观的实际实例来反对他的错误观念。我举出时间从0钞到1钞，中间要经过无限个时阊点。小球从空间的0坐标点运动到1坐标点。中间要经过无限个点，这都是无限过程，这些无限过程就是可以完成的。所以说【无限是不能完成】不对。

李先生对此反驳不了，就说我【用没有证明过的命题来反对别人的命题，】

2，李先生说【②说出来的话经常自相矛盾，令人啼笑皆非还不自觉，比方说一边承认项数可以无限增加的自然数序列是无限的，一边又否认行数和列数都可以无限增加的矩阵是无限的。】

这就是李先生的逻辑不严格存在的问题。全体自然数构成的无穷集合，它并不是由元素不断增加的自然数的有限集合形成的无穷个有限集合。无限集合同无限个有限集合，这是两个不同的概念。确切地说，我们是由并集把这两个不同概念联系起来的。无限集合是这无限个有限集合的并集。

同样的道理，无限个有限矩阵或由它构成的无限个有限矩阵的序列，它当然不是由无限个行和无限个列形成的无限矩阵。李先生在这里是混为一谈的。他只给出了无限个有限矩阵，他并没有真正给出【无限大长方形方阵】的具体定义，由他构造的由1位2位，...所有的有限位小数位数构成的无限个有限矩阵，认为这就是康托尔定理证明中由反证法【实数可数】的假定，由可数无穷个实数(无穷小数)的位数形成的无限矩阵，是严重的错误。根本不是一回事，相差甚远，

李说【再比如一边承认自然数集合加1的过程是永远不会完成的，一边又说一旦完成了，就怎么样怎么样，请问既然永远不会完成，哪里来的一旦完成？】

这又在乱说。我们说的是在自然数集合的生成过程中，要生成无穷个自然数，加1的过程不能半途有穷中断，不是【永远不会完成】。只有过程完成才能生成全部自然数。而且我们说了，这个无穷过程的完成不同于有穷过程的完成，因为没有最大的自然数，即没有最后生成的自然数。所以并没有最后一步。没有最后完成的时刻。

李又说【最近这位自相矛盾大师又玩出了新花样:一边承认用随机方法，没有一个实数是取不到的，一边又说取到的数都是某一个可数子集的，也就是说该子集外的其他数都是取不到的，】

李竟然没听懂，不是说【该子集外的其他数都是取不到的】，用随机方法当然可以取出该真子集外的任何实数。问题是此时所有的自然数都有它的对应实数。自然数在此对应中己经用完了。己经没有自然数对此取出的实数进行编号了。我没有说此情况一定会发生。但你的证明没有证明此情况一定不会发生，所以说你没有证明该映射f是【满射】。

李先生最后说【如此自相矛盾的思想竟然会在同一篇文章中出现，可见其大脑中早已习惯了自相矛盾的垃圾，如果每一个人都一天到晚自相矛盾，这个世界还有救吗？】

当然是无的放矢了。因为这全是李先生的认识错误。一点矛盾都沒有。

3，李先生说【③经常严重缺乏数学常识。例如薛问天在啄木鸟1217的评论9中居然说两个无理数的平均数还是无理数，把0不能做分母当作无限小量不能做分母这些缺少基本常识的话。】

这又是李先生在这里故意借题发挥大作文章了。这是在谈到证明有理数的稠密性，即【任意两个有理数之间，永远有无限多个无理数。】时，根本不用什么【最短距离】来证。用到的是【无理数的平分数是无理数】。当时把【平分数】误写成【平均数】了，我己往说了这种写法当然有误，应改成【平分数】就对了。任何无理数的平分数当然是无理数。任何正无理数c，显然【平分数】c/2也是正无理数。而且对任何自然教n，c/(2^n)也是正无理数。而且当n充分大时，c/(2^n)可以任意小。因而对任何有理数a<b，当c/(2^N)<b-a时，就有当n>N时，a<a+c/(2^n)<b，也就是说在a，b间有无穷多个无理数。使有理数的稠密性得证。李却对此笔误借题发挥，大作文章。

另外，李说【再比如无穷小是以零为极限的变量，该变量不能做分母？】当然无穷小这个变量可以做分母求出另一变量。但是它的极限值是0，所以这个极限值不能做为分母来求商值。李先生的错就犯在这里。他的除式L/L´中，L´不是无穷小，而是极限值。你看他的定义，【无理数的最短距离L′等于n→∞时的Lim10^(-n)】，要知道【n→∞时的Lim10^(-n)】是极限值，就是常数0。不是无穷小变量。可見这里并不是我薛某【把0不能做分母当作无限小量不能做分母这些缺少基本常识】，而是李先生自己把L´这个极限值常数0错当成无穷小变量放在分母中，犯了低级的错误了。

4，李说【④经常看不懂别人说得一清二楚的证明或话，这个其实倒是可以理解，一个思维混乱，认错误为真理的人怎么可能看得懂真正的真理呢？】

这是李先生对别人对他错误观点否定评论的基本看法。但他举不出实例具体反驳。只是说【恰如一个色盲病人，如果坚持认为自己是正确的，他就会认为别人把色彩全部搞错了。】所以我也就不加具体评论了。

5，李说【⑤由于很多概念的定义他实际上都看不懂，数学常识又不懂，所以没有能力看懂别人的一清二楚的论述和证明，......】倒是举了实例。以双射这个概念为例。这本来是非常清楚的事。要证明N和R一一对应，你只要证明存在着一个N→R的映射是双射，或存在着一个R→N的映射是双射，只耍证明一个就可以了。並不耍求你两个都证。关于N→R，很容易证明它是映射和单射，但证明不了它是滿射。所以要求你一定要证明它是满射。关于R→N，李说它证明了该单射是满射。实际上它连映射的条件都不满足，谈不上是单射和满射。差得更远。我们再来一分析一下李的再一次的说明。

李说【1，映射R→N

映射R→N是单射:不存在随机方法取不到的实数，且每一个取到的实数都用自然数编号了，形象地说，如果把取到的实数看作是一支箭，那么每支箭都射到自然数集这个靶了，且不同的箭射到了不同的自然数，根据单射的定义可知，R→N存在单射，

这个单射是满射:箭是无限多的，所以靶中的每一个自然数都被射到，不存在没有被射到的自然数，形象的说就是自然数集这个靶被射满了。根据满射的定义，这个单射就是满射。这里要注意，这里的满射只要求把自然数集合里面的每一个自然数都被用到就可以。至于R里的每一个实数是否都被用到，这是在单射里面已经解决了的问题。】

看看，这就是李先生的再次详说的【证明】。要证明存在实数到自然数的映射f:R→N是双射，必须先证明f是映射。李先生提供的f连映射的条件都达不到  。映射要求对任何实数都要有自然数与其对应。但李先生保证不了这个要求。在映射开始对应时不存在问题，对任何随机所取的有限个实数，都能找到自然数与其对应。但是当取了实数的一个无穷子集后，完全有可能把所有的自然数全部取完，这时就没有自然数能同剩余的实数对应了。这些实数就没有自然数与其对应，保证不了这些实数一定存在有到自然数的映射。李先生所说的【不存在随机方法取不到的实数，且每一个取到的实数都用自然数编号了，】前面说的对，后面所说的【每一个取到的实数都用自然数编号了】，说的就不对了。当在对应中，取完了实数的一个无穷子集后，完全可能，所有的自然数都有对应的实数了，但剩余一些实数己经没有自然数能与其对应了。保证不了所有这些实数能有到自然数的映射。连映射都不是，就更谈不上是单射，满射和双射了。所以这个证明是错误的。在射箭进行中，当自然数的靶上都射有实数箭时，这些剩下的实数箭己无靶可放了。

李先生说【2，映射N→R

映射N→R是单射:每一个取到的实数都用自然数编号了，形象地说，如果把自然数看作是一支箭，那么每支箭都射到实数集这个靶了，且不同的箭射到了不同的实数，根据单射的定义可知，N→R存在单射，这个单射是满射:不存在随机方法取不到的实数，而每一个取到的实数都用自然数编号了，即靶中的每一个实数都被射到，不存在没有被射到的实数，形象的说就是实数集这个靶被射满了。根据满射的定义，这个单射就是满射。】

这个证明同文章前面开始讲的内容，没有的什么差别。你没有证明可以满射。也就是说，你保证不了你有足够多的自然数箭去射向实数。完全可能当这无穷多个自然数箭射击向实数集合的某真子集后，全部用完了。其余的实数你就无箭可射了。你保证不了自然数对实数集合的映射是满射。所以证明是错误的。

总之。李先生所用的R→N和N→R两种映射都证明不了N和R可一一对应。

说一句题外的话，李先生你一直坚持认为无穷集合同它的真子集一一对应是反直觉导致悖论的错误。而恰恰R同它的真子集不一一对应。而你却反过来坚持说你证明了R同它的真子集N一一对应。你不觉得同你的观念背道而驰。十分可笑？

另外对李先生的所谓回答作点评论。李说【任何可以写成{1，2，3，...}的无限集合都是自然数集合。比如任何无限大矩阵的行标和列标都可以写成上述形式，所以都是自然数集合。而无限大长方形矩阵的行标题和列标题虽然都是自然数集合，但是并不相同，说明自然数集合不是唯一的。还有，文章中提到的长方形矩阵的列标和自然数N一一对应，行标和自然数的幂集一一对应，所以康托定理实际上也证明自然数集合不是唯一的，并没有证明实数或N的幂集不可数。】

要知道李先生的逻辑相当混乱。我己经指出，李先生定义的【无限大长方形方阵】，並不是有无限行和无限列的无限矩阵，它是无限个【行列在不断增长的有穷长方形方阵】的无穷序列。李先生并没有定义它的行标和列标集是怎样不同的自然数集合。也没有定义计么【行标和自然数的幂集一一对应】。

康托定理並没有证明自然数集合不是唯一的，而是证明的是实数不可数。关于于集合同幂集不一一对应，基数不等，这是另一个康托尔定理的内容。

6，李说【⑥薛先生的另一个特点是魄力巨大，.....比方说长方形无限大小数矩阵的行标和列标明明都是自然数集合{1，2，3...}，他却可以断然说这不是自然数集合。再比如说我以前早就证明过行标集是列标集的高阶无穷大，他也说这是错的。】

我已指出李先生的【无限大长方形方阵】不是无限矩阵，而是无穷个有限方阵，哪来的【矩阵的行标和列标明明都是自然数集合】，这是李先生混乱逻辑中自己的定义，并不是【他却可以断然说这不是自然数】。这里明目张胆毫无顾忌地说什么【行标集是列标集的高阶无穷大】，可見李先生从逻辑概念上就是相当混乱的。高阶无穷大是对变量极限的比较，有严格的定义，怎么竟拿来随意作为无穷集合的比较。问题是直到现在。李先生还没有认识到其中的混乱和错误，还认为这是对的。

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