Zmn-1176 薛问天: 认为函数的极限就是该点的函数值，是严重的错误。评师教民《1173》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1173》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

认为函数的极限就是该点的函数值

是严重的错误。评师教《1173》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，关于高阶无穷小。

为什么说师先生所说的【因为 0 本身就是最高级的无穷小，所以 o(0) 就不能再是比 0 更高级的无穷小了，所以 o(0) 就成为错误．】完全是师先生的错误认识。

我又查了一下同济《高等数学》中有关定义，书上是这样写的。高阶无穷小的定义。设α，β是同一自变量变化过程中的无穷小，且α≠0，当lim(β/α)= 0時称β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)。

因而在无穷小的比较中，都是指在α≠0的条件下才称β是α的高阶无穷小。因而对于α=0的无穷小，就不可能有比α高阶的无穷小。并不是师先生所说的什么【因为 0 本身就是最高级的无穷小，所以 o(0) 就不能再是比 0 更高级的无穷小了，】这就是师先生的认识错误。

关键是我们讨论的不是 o(0) 。如果函数增量可以表达为Δy=AΔx+β(Δx)，而且在 当Δx≠0 时，其中β(Δx)=o(Δx)是Δx的高级无穷小，即当 Δx→0 时 β(Δx) /Δx→0．则称函数在x点可微。

我们所说的Δy.Δx是增量，当然允许 Δx=0．是指变量 Δx 可取 0 为值，是指变量 Δx 的定义域可以包含 0。当 Δx=0 时，Δy=A*0+β(0)。由于我们知 Δx=0 时 Δy=0．所以知β(0)这个值为 0．即 β(0)=0．这个函数 β(Δx) 在 Δx=0 时函数值为 0，又因为β(Δx)它是 Δx 的高级无穷小，在 Δx≠0 时，当 Δx→0 时 β(Δx) /Δx→0．β(Δx)=o(Δx)。这其中一点矛盾和错误都没有。只是不要把β(0)写成o(0)就对了。

2，关于微分中允许Δx=0。

师先生问【微分 dx=Δx=0 的相应的导数是多少？】说明师先生的逻辑和概念是混乱的。导数是函数的属性，只能问函数y=f(x)在x点的导数是多少，怎么问开微分的导数来了？微分没有导数。

应该在概念上说清楚，函数y=f(x)在x点的导数是f´(x)。函数y=f(x)在x点的微分有两个。dy=f´(x)Δx ，dx=Δx。

因而函数y=f(x)在x点的导数f´(x)，它等于在Δx≠0时的微商，即f´(x)=dy/dx。也就是说在Δx≠0时，两个微分的商等于导数，dy/dx=f´(x)。在Δx=0时，dy=0，dx=0。不能求两个微分的商，即此时微商没有意义，它不等于导数。这一切都清清楚楚。

3，关于第一代和第二代微积分中导数的定义。

1)，①师教民先生说【极限理论的极限或导数的定义、数学推导，逻辑推理就是先加上极限符号、后去掉极限符号、同时令本来≠0 的 Δx=0 的实际做法．】

②，师教民先生说【②第一代微积分把函数 F(Δx)=2x+Δx (Δx 可等干0)在 Δx=0 时的值 2x+0=2x 直接定义为导数；第二代微积分或极限理论的极限或导数的定义、求法、数学推导、逻辑推理和加、去极限符号的实际做法是一回事，说明极限理论把函数F(Δx)=2x+Δx (Δx 可等于 0)在 Δx=0 时的2x+0=2x 先定义为极限，再把这个极限定义为导数．所以极限理论只是把导2x+0=2x 定义前的旧名字函数值改成了新的名字极限值，而在本质上还是和第一代微积分一样都是 2x+0=2x，因此第二代微积分或极限理论和第一代微积分一样存在 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾或贝克莱悖论．极限理论只是把函数值的旧名字改成了极限值，就把你薛问天先生骗得一塌糊涂。】

在上述论述中，师先生认为第二代微积分【先加上极限符号、后去掉极限符号、同时令本来≠0 的 Δx=0 的实际做法．】【第二代微积分或极限理论的极限或导数的定义、求法、数学推导、逻辑推理和加、去极限符号的实际做法是一回事，】以及说【极限理论只是把导2x+0=2x 定义前的旧名字函数值改成了新的名字极限值，而在本质上还是和第一代微积分一样都是 2x+0=2x，】具体说来並不正确。

【加上极限符号】是因为导数的定义是增量比的极限，而且极限不仅是个符号，它有明确的含义。把求出的极限值说成是【去掉符号】，是明显的错误。当Δx→0时Δx的极限值limΔx=0，而去掉极限符号后是Δx，怎么会是0呢，明显错误。至于【令本来≠0 的 Δx=0】，这只有当G(Δx)是连续函数时才可如此作，因为连续函数的极限值等于函数值。对于非连续函数，并不能这样作。

也就是说，师先生的这些说法都是笼统的说法，并没有实际具体地论证。对此必须严格具体地论证。首先导数的定义就有严格的不同。一代微积分用无穷小的比来定义导数，本身就是含混的。无穷小不等于0和无穷小等于0就含有矛盾。而二代微积分把导数定义为增量比Δy/Δx在Δx→0时的极限，就是非常严格的定义。另外极限有一系列的极限规律，它不是什么可以任意加上和去掉的【符号】。什么是极限，它是有严格精确的含义。由定义可以知道任何Δx的函数，在Δx→0时的极限，同Δx=0时的函数值无关。只同Δx≠0的函数值有关。两个函数如果在Δ≠0时完全相同，则它们的极限值相等。只是对于连续函数，才具有极限值等于函数值这个特性。

师教民先生这么笼统地叙述就得出结论，说【本质上还是和第一代微积分一样】就犯了不加严格推论就得出结论的严重错误。

2)，对于函数G(Δx)=2x+Δx，师先生说【这个函数的自变量 Δx 赫然写在分母上，哪来的极限理论的“连续函数”？哪来的“偶合”？】原来师先生说的是他写Zmn-1162 中的函数 G(Δx)，是如下的形式：

G(Δx)=Δy/Δx=2x+Δx(Δx≠0)。

他的G(Δx)指的是增量比函数G(Δx)=Δy/Δx。而是用F(Δx)指的是F(Δx)=2x+Δx.(Δx可等于0)。

刚好我们把F和G两个符号用倒了。我说的G是你的F，因而我说的G是连续函数指是的你的F是连续函数  。这样就清楚了。

3)，关于导数定义。

①.应该说，第一代微积分中导数的定义是含混不清的，它不是把导数定义为增量比Δy/Δx，也不是如师先生所说把导数定义为【函数 y=f(x)的增量 Δy 和其自变量增量 Δx 之比形成的函数Δy/Δx，在其自变量增量 Δx=0 时的值．】而是把导数定义为两个无穷小Δy，Δx之比。第一步认为无穷小Δx≠0，第二步又认为无穷小Δx=0。从而产生矛盾。

②.极限理论把①中增量比函数Δy/Δx在其自变量增量 Δx→0 时的极限定义为函数 y=f(x)的导数。师先生说【那么极限理论的这个极限是 什么？就是当 Δx→0 时Δy/Δx无限趋于的目标，就是函数Δy/Δx在其自变量增量 Δx=0 时的值，没有例外!】这是师先生对极限认识的严重错误。

师先生还大言不惭地说【只不过是极限理论给这个值起了个好听的、能够迷惑人的名字——“极限”而已.如果极限理论或薛问天先生胆敢说这个极限不是函数Δy/Δx在 Δx=0 时 的值，那么极限理论或薛问天先生就必然错误！】要知道函数Δy/Δx在 Δx=0 时 的函数值是0/0，根本就没有定义，我当然可以大声说如果有极限，这个极限值不可能等于这个没有意义的函数值，这一点错误都没有，完全正确。

要知道函数 y=x^2 的增量比函数Δy/Δx= 2x+Δx (Δx≠0)，

令G(Δx)= 2x+Δx(Δx可等于0)。由于这个函数G(Δx)是连续函数，在 Δx→0 时的极限就是该函数G(Δx)在 Δx=0 时的函数值 G(0)=2x+0=2x。

师先生竟然睁着眼晴看不見这里的Δx≠0。这个不等式说明函数G(Δx)=2x+Δx并不是函数 y=x^2 的增量比函数。这两个函数在Δx=0时的函数值并不相等。增量比函数是F(Δx)=Δy/Δx。增量比函数F(Δx)=Δy/Δx在Δx=0时的函数值是没有意义的0/0。它怎么能等于Δx→0时F(Δx)的极限制2x呢？要知道F(Δx)同G(Δx)的极限值都是2x。

至于当Δx→0时，函数G(Δx)的极限值等于函数值，纯属偶合，因为函数2x+Δx是连续函数。连续函数的极限值等于函数值。

我们定义的导数用的是极限值，极限值可以在Δx≠0的条件下求出。所以並不存在要求Δx=0，因而不存在同时要求Δx≠0和Δx=0的矛盾。在这种情况下说【不管偶合不偶合，只要 Δx 在分母上就有 Δx≠0，只要极限值等于 Δx=0 时的函数值，就有 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾．】纯属不讲道理的狡辩，是错误的。

关于师教民先生所举的函数 y=sinx 的导数的例子 。同样，在Δx≠0的条件下有函数G(Δx)=cos(x+Δx/2)*(sin(Δx/2)/(Δx/2))=Δy/Δx。因而函数y=sin x 的增量比函数F(Δx)=Δy/Δx同G(Δx)在Δx→0时的极限相同，等于 cos x。这是一个很好的例子。当Δx→0时G(Δx)的极限是cos x，但是当Δx=0时G(Δx)的函数值G(0)=(cos x)(0/0)没有意义。说明G(Δx)不是连续函数。导数是函数G(Δx)的极限值，但并不等于G(Δx)的函数值G(0)。师先生说它是函数值是错误的。

所以说在求函数 y=x^2的导数时，当Δx→0时，函数G(Δx)=2x+Δx的极限值等于函数值G(0)，纯属偶合，因为当函数G(Δx)是连续函数时，连续函数的极限值等于函数值。不连续时极限值不等于函数值。

我们定义的导数用的是极限值，极限值可以在Δx≠0的条件下求出。所以並不存在要求Δx=0，因而不存在同时要求Δx≠0和Δx=0的矛盾。关于G(Δx)是连续函数时，此极限值等于函数G(Δx)在Δx=0时的函数值，这同导数定义中要求Δx≠0並无矛盾。导数定义为Δx≠0时F(Δx)的极限值。在Δx≠0时F(Δx)的极限值等于G(Δx)的极限值。这同Δx=0时的函数值无关。当G(Δx)是连续函数时，它䓁于G(0)，当G(Δx)非连续时，可以不等。是无关的。不过我们可以证明对于可导函数，这样的连续函数肯定存在。

师先生由此得出的结论，说【就导数的本质而言，第二代微积分或极限理论和第一代微积分是完全相同的！】显然是完全错误误的。

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