Zmn-1174 薛问天: 对函数极限的动态解释不是指【x向x0的运动】，评一阳生《1171》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1171》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

对函数极限的动态解释不是指【x向x0的运动】

评一阳生《1171》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一、要分清自然数集合的数学定义和它生成过程的直观说明之间的区别。尽管自然数有无穷多个，但并无【第无穷个自然数】的存在。

1，请一阳生分清自然数集合的数学定义和它生成过程直观说明之间的区别。这是两项不同的事，不要混为一谈。

(1)自然数集合在集合论中用①②③严格地给出了定义，同时也有用皮业诺公理给出的定义，这两者是等价的。命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】可由定义直接推出，也是皮亚诺公理五(数学归纳法)的等价命题，可用数学归纳法的证明。所以说这个命题是自然数定义的一部分。一阳生说【因为该命题本质上只是在表达每个自然数都具有的性质P，而不是表达自然数的定义机制即不是自然数的定义。】是错误的。

(2)对自然数集合生成过程的完成是在定义的基础上的一种直观的说明。

说清楚，我们所讨论的是(2)，是对自然数集合生成过程直观说明。这个说明是在承认(1)的自然数定义基础上的说明。不要根据(2)的说明再去作自然数的定义。把这个生成过程㸔作是【定义自然数的机制】，这是不需要的，也是不合理的。

自然数的定义(1)根本不依赖(2)的直观说明。自然数的定义同生成过程演算无关。

我们现在讨论的是生成自然数的过程演算。你可以约定生成每个自然数都从0开始经有穷次后继运算得到，也可约定在生成n′时，用n经一次后继运算得到，这两种方法没有原则区别，都可作为生成自然数的生成过程。后继运算次数清零和不清零没有本质区别。只是第一种方法每生成一个自然数需使用有穷次后继运算，而第二种方法，每生成一个自然数只需使用一次后继运算。但是由于自然数有无穷多个，不论哪种方法，要生成所有自然数，都需要运行无穷多次后继运算。

要注意，你如果把生成一个自然数称作是【一次演算】，那么整个自然数的生成过程就包括无穷多个【一次演算】。如果你把生成所有自然数的整个过程称作是【一次演算】，那么你也可把生成一个自然数称作是【一次子演算】或一次【操作】。对于第二种方法，你也可把由n生成n′称为一次子演算或一次操作。那么整个自然数的生成过程的这个【一次演算】就包括无穷多个【子演算】或【操作】。这在本质上都是一样的，只是称呼的不同而已。也就是说【总共无穷次的演算或操作得到全部自然数。】所依赖的根据是所有自然数有无穷多个，这是完全正确的，没有任何错误。

就是一定要认清关于自然数的如下事实。第一，任何自然数都是由0经有穷次后继运算得到的。第二，所有这些由0经有穷次后继运算得到的有穷自然数有无穷多个。第三，生成所有自然数的生成过程，总共需要进行无穷次的后继运算。第四，不存在由0经无穷次后继运算得到的任何【数】。

另外，关于自然数的定义。其中③说【任一自然数都可由①和②得到】，而由此推出我们所说的命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】中的【有穷次】，完全是由逻辑推理中的【有穷次】自然形成的。定义需要逻辑，即在逻辑推理中把③应用有穷次，即可严格地正确地推出此命题。一阳生说【实际上推出不了】是错误的 。而且一阳生先生所说的有关命题中的【有穷次】【从我的定义自然数的机制角度看，都是由自然数对应定义出来的。】这是错误的循环定义。因为【有穷次】这是自然数定义中用到的词𢑥，不能说它是【由自然数对应定义出来的】概念。一阳生说【薛老师要大大方方的承认【有穷次】就是由自然数定义出来的，】这是不行的。要知道在自然数的定义中所用的【有穷次】就不能【由自然数定义出来】。否则就是犯循环定义的错误。一阳生应了解这点，正是由此我们在逻辑上才没有犯循环定义的错误。一阳生说【至于逻辑上产生的循环定义问题，薛老师已经无视了忽略了。】显然我们不是【无視】和【忽略】而是非常重視，没有犯一阳生所主张的循环定义的错误。

一阳生问我承认还是不承认他所说的这个论断:【在一次演算中，后继运算可遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算可定义全部的自然数。】是否是正确的。我可以明确回答。如果你把整个自然数的生成过程看作是【一次演算】。那么当然在这个生成全部所有自然数的过程的中要用到无穷次的后继运算。但你不要把个生成过程(演算)的说明，看成是数学定义。关于自然数的数学定义是由①②③给出的。或等价地由皮亚诺公理给出的。生成过程(演算)只是根据定义所作的一个直观说明。你把它说成是【定义】是不对的。

2，尽管自然数有无穷多个，但并无【第无穷个自然数】的存在。

一阳生对【序数】的理解，存在一定的问题。他问【请薛老师回答，既然得到有穷个自然数须后继运算运算到某有穷序数次(如n次)，那么得到全部无穷个自然数的后继运算须运算到哪个序数次？因为没有最后一个有穷序数次，所以后继运算运算到任一有穷序数次(如n次)，都得不到全部自然数。请薛老师认真回答：后继运算要运算到哪一序数次才能得到全部自然数？这个序数次是不是超过所有的有穷序数次？】

如何理解【序数】？对于有穷序数，序数表示的直观含义是指某元素是第几个数。通常都是用这个含义来区分个数和序数的区别。都用这个含义来理解【序数】的含义。但实际上数学上的序数，特别对于无穷序数超穷序数，它的含义己不是【第几个元素】这个含义了。它已不是元素的性质，序型不是表示某元素是【第几个元素】，而是表示集合的性质，是良序集的序型是什么。两个良序集的序型相同，序数相等，当且仅当这两个良序集合可建立保序的一一对应。是指集合{0,1,2,...}的序数是ω，集合{0,1,2,...,ω)的序数是ω+1，等等。

对于自然数来说，任何一个自然数，都存在一个有穷序数n，表明它是第n个自然数。尽管有无穷多个自然数，但不存在这样的自然数，它没有n，不是第n个自然数。也就是说不存在自然数它是第无穷个自然数。同样，尽管在生成全体自然数的生成过程中用到了无穷个后继运算，但并不存在用到的第无穷个后继运算。有无穷多个自然数，但并不存在第无穷个自然数。用到了有无穷多个后继运算，但并不存在第无穷个用到的后继运算。这就是无穷的特性。你必须承认这个客观存在的事实。

现代的实无穷观的【实无穷】，是承认存在全体自然数这个无穷集合 ，但並不像古典实无穷观那样，承认在很远很远的地方，有无穷大这个最大的，第无穷个自然数。这是现代实无穷观同古典实无穷观的重大原则区别。

3，另外，一阳生要改变他认为有穷是【极其少】的偏見。

一阳生说【我们能具体写出、具体说出、具体想象出的次数和生产生活中产生的各种统计次数确实都是极其少的一些有穷次，这远远达不到穷尽全部自然数。】这显然是一种偏見。无论是理论分析还是实践经验，我们都知道，有穷並无上限，是可以相当大的。当然无论多大的有穷，都不是无穷，有穷远远达不到穷尽全部自然数的无穷，但不能认为有穷是【极其少】的。有穷不是无穷，但可以有任意大的有穷。任何一个具体自然数对应一个具体有穷次。但这样的可以任意大的有穷自然数有无穷多个。有穷和无穷，这是人类通过长期实践经验在理论上得到的概念，怎么能轻易说我们对此进行了【抛弃】。对此我们一定要有明确的认识。不能用你看到的个别现实来代替整个可能存在的现实。

二、关于小球的运动。

时间和空间的实数的稠密性和半开区间，这是严格的数学陈述，这不是一阳生所说的【不严谨的花哨表达】。跟据严格地推理和陈述，跟据实数的稠密性，严格证明不【存在一个与1点相邻的点】。但是存在包括【半开区间[1,0)中所有点】的集合。严格证明实数中存在这样的集合，因而在时间和空间中同样精确地存在着这样的集合。因而精确地说，小球的匀速运动，在半开区间[0,1)的时间内，完全可能经过(遍历)空间中半开区间[0,1)中的所有点，而不包括1这个点。就意味着小球在半开区间[0,1)内向1点运动时，与1点之间不存在永远不变的距离。因而完全可能小球既不达到1点，但又遍历半开区间[0,1)中的所有点，

三、一阳生用【x趋向于xo】来作为【潜无穷过程】定义，是定义不了的。把极限的动态含义解释为【x向x0的运动】是完全错误的。

1、一阳生认为【趋向于】是原始概念，【x趋向于xo】的含义是清楚的不用定义。我说这不对。数学中没有这个原始慨念。原始概念都要由公理来界定它的性质。一阳生又说【只是您的不完全归纳总结而已，不是定理，您的反驳不能成立。您现在看到了，定义也可以界定原始概念的性质。】这种论述完全不合逻辑了，所谓【原始概念】就是不需定义的概念才叫原始概念。怎么跑出来的论调说【定义也可以界定原始概念的性质】。既然你用定义来界定，怎么将其叫作【原始慨念】呢？逻辑就乱了套。

2，一阳生接着又把定义推给我，说什么【您要求我给出【x趋向于x0】的定义，我说里面有原始概念不能被定义。那下一步您的正确态度和做法应是：您给出定义。然后我们就此进一步讨论。】

其实，我己说得很清楚，〖极限的ε-δ定义给了当 【x趋向于x0】时【f(x)的极限是A】的完整定义。〗不能对【x趋向于x0】给出单独的分开的定义。

定义的标准结构是Φ⇔Ψ，Φ当且仅当Ψ。其中ψ是要被定义的数学概念，Φ是其定义的语句。关于极限的定义，ψ是要被定义的极限，即ψ=【当x趋向于x0时f(x)的极限是A】，Φ就是极限的ε-δ定义，Φ=A∧B。不能把【当x趋向于x0时f(x)的极限是A】说成是C→D，用A∧B⇔C→D分开来定义。 

3，这就是我说的：〖不能把【x趋近于x0】和【f(x)的极限是A】作为两个单独命题C，D分开来定义。〗

要知道【若m和n是自然数，则m+n是自然数。】这是明确的蕴涵命题，其中的前提和结论可以分开看待的，【m和n是自然数】(C)，【m+n是自然数】(D)，是两个含义明确的可赋真假的命题。所以可以写成C→D。

但是由ε-δ定义的【当x趋近于0时，f(x)的极限是A】，是个整体的定义。並不能把【x趋近于x0】和【f(x)的极限是A】分开来分别定义成两个含义明确可赋真假的命题C和D。所以它不是蕴涵命题C→D。极限的ε-δ定义是个整体，整体含义可以说清，但分开来，说不清【x趋近于x0】的含义具体指的是什么。蕴涵命题中的前提和结论，必须是有明确含义，可赋真假的命题。 

4，如何动态地㸔待和分析极限的定义。如果把定义中的【对任何ε>0存在δ≥0，...】看作是静态的逻辑关系。自然可对极限的定义作静态分析。但是把ε和δ看作是随时间的变化，对越来越小的ε，都存在越来越小的δ，让ε和δ动起来，这样作才能对极限的定义给出一种动态的解释。

有些人在理解数学概念时不关心数学的严格定义，而是在数学名词的字面含义上胡乱猜测。这是数学初学者常犯的错误，没想到一阳生也有这样的毛病。一阳生说【【x趋向于x0】首先在字面意义上就表达行为动作，其次【x趋向于x0】与哲学中的【绝对的永恒的运动】相呼应。】错误地把极限理解为变量x所取的点向x0的运动。【在取值范围内是x在动在趋向于x0】。认为极限是指【x向x0的运动】，【x(可把x看成小球)在区间中的运动】。要知道，这样来解释极限的【动态】含义，则是完全错误的。

对极限正确的动态解释应是，在这个ε和δ不断变小的动态过程中，对每个ε和δ，都要判断是否对除x0以外在邻域区间(x0-δ,x0+δ)中所有的值，都满足|f(x)-A|<ε。必须是邻域区间中所有的值不能有缺失。也就是说在极限过程中的每个动态瞬间，对邻域δ区间中所有的点x，都要满足 |f(x)-A|<ε。而一阳生的动态解释中，在运动过程中有很多点根本遍历不到，显然不符合极限的定义。

5，前面己讲过，定义的标准结构是Φ⇔Ψ，Φ当且仅当Ψ。其中ψ是要被定义的数学概念，Φ是其定义的语句。对于极限的定义，ψ=【当x趋向于x0时f(x)的极限是A】，Φ就是极限的ε-δ定义，Φ=A∧B。

一阳生所说的【极限定义的命题结构（A ∧ B）→（C → D）是三位一体的定义。】在逻辑上是混乱的。不能作为极限定义的逻辑结构。

面且【潜无穷过程】同极限毫不相干。

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