Zmn-1156 薛问天: 在自然数的定义和公理中用到的【有穷次】是原始逻辑概念。评一阳生《1155》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1155》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

在自然数的定义和公理中用到的【有穷次】

是原始逻辑概念。评一阳生《1155》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

我们知道命题【 任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，可以作为自然数的定义的一部分，它也是自然数的皮亚诺公理的第五公理的等价命题，可用数学归纳法来严格证明。当然命题中的【有穷次】就不能根据数学上用能同某自然数一一对应所严格定义的【有穷集合】来论证，否则就会犯循环定义的逻辑错误。必须承认这里所用的【有穷次】是未曾定义的原始逻辑概念。 【有穷次】在逻辑上是己经用到的，是不用也未曾定义的原始逻辑概念。在逻辑上有规律限制，只能使用有穷步的推理。至于什么叫【有穷步】的推理，并没有定义，这是人们通过长期实践总结和认识的规律，是一个原始的概念，没有也不用定义。人们用这个原始概念定义了自然数，然后才用自然数对【有穷集合】，【无穷集合】作出了严格的数学定义。(見本文三，1)

一、关于无穷忌用的观点。

1，第一，逻辑推理的次数只能是有穷的，忌用无穷次推理。第二，关于演算，如果是由人来手工的执行演算，只能执行有穷次，忌用无穷次的演算。如果设想是客观地执行无穷次演算，那么这无穷次演算的结果必须有明确的定义。对于没有定义的无穷次演算，仍然是忌用的。

2，一阳生说【 有穷个集合的并集无法通过并运算逐渐增加集合数量达到无穷个集合的并集，有穷个项也无法通过加法运算逐渐增加项数达到无穷个项的加法。他们都不是人实施的、人进行的有穷次的动态操作所能达到的。】

要知道，这里的【无法达到】是缺乏【定义】，如果有了明确的定义，就可以达到，它不是人实施的【达到】，但人可以通过【定义】，把使用定义看作是推理中的一步，从而是用有穷次的推理来认识这个无穷次演算的结果。

例如S是无穷个集合的集合，则US={x|x∈y∧y∈S}这一个集合的一次并演算US，就定义了S中的无穷个集合的无穷次并演算。注意这只是个定义而不是真正地去轨行无穷次的集合并演算。

再例如无穷级数的和，是用部分和序列的极限定义这无穷级数中这无穷个项的和。求极限是一次演算，在推理中只是一步，并不是真正地去做无穷次的加法演算。也就是有了定义以后，人们就可以对这种非人親自实施的客观无穷结果。通过有穷步的推理去认识和掌握。

另外我希望一阳生先生不要把演算次数推理次数这个次数的集合是有穷集合还是无穷集合同计数方法混在一起。本质是有穷还是无穷，不在于计数方法的区别和切换。计数只是一种属性的测试和表示，本质是集合的属性是无穷还是有穷。

3，一阳生先生问【 对于形成全体自然数集合的客观的无穷次后继运算中的【无穷】，如何定义和把握？是指无穷序数ω还是基数阿列夫0？】

这里只讨论有穷和无穷，即讨论次数的集合是有穷集合还是无穷集合。当然在概念上要明确什么是有穷集合，什么是无穷集合的基本数学定义。那就是要明确有穷集合是能同某自然数表示的集合一一对应的集合。不过请大家注意，数学定义的【有穷集合】是在逻辑的有穷次的基础上定义的。这里无穷集合是非有穷集合的集合。还谈不上序数ω和基数。

一阳生继续问【达到无穷次后继运算之后，后继运算在客观上是继续运算下去还是停止了？如果停止了，是谁让他停止的？】

这是在问自然数的生成过程。生成每一个自然数要求进行有穷次后继运算，如生成数1需要1次后继运算，生成数n需要n次后继运算。由于自然数有无穷多个，所以在生成全体自然数的生成过程中，必然要进行无穷多次后继运算。

在生成过程完成之后。不需要进行后继运算，当然由于全部完成了，所以停止不再进行了。没有人让他停止， 由于生成自然数的过程全部完成了，所以停止不再进行了。

【如果后继运算继续运算下去，能否达到无穷序数2ω或阿列夫1次？毕竟这是所谓客观的不受人控制的后继运算，自然也不受薛老师控制。】

如果生成自然数的过程全部完成，它只是生成有穷序数的过程的完成。我们还可继续讨论生成其它序数的过程，可以令ω是全部自然数，继续使用后继运算x+1=xU{x}，生成2ω和更多的序数。但仅用后继还生成不了所有更大的序数。还需其它运算。

【不可数集合有没有客观形成的无穷过程？如果有，如何完成这个无穷过程？】

当然有这个生成的无穷过程。序数有序数生成的过程，基数有基数生成的过程，这就是集合论深入研讨的内容。

二、我用数学归纳法证明了命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】(下面用X表示该命题) 

1、在一阳生引入下述定义下。

【演算】的定义：在得到一个或多个自然数后，把后继运算次数清零，重新由0开始持续的后继运算去得到新的一个或多个自然数的过程称为一次演算。

既然可用数学归纳法证明命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，自然可用数学归纳法证明，任何自然数都可用【一次演算】而得到。

但是并得不到一阳生所说【 用数学归纳法证明了【在同一次演算中】，后继运算可得到全部的有穷自然数，和后继运算可遍历全部的有穷次后继运算。】

这说明一阳生先生犯了一个逻辑的错误。任何自然数都可用【一次演算】而得到，但是 不能说【在同一次演算中，后继运算可得到全部的有穷自然数，】因为自然数有无穷多个。

2、一阳生先生要认清，如果命题X是成立的。任何自然数都可用一次演算得到，但在同一次演算中，后继运算并不能遍历全部的有穷次后继运算，得到全部的自然数。因为自然数有无穷多个，只有在生成过程中使用无穷次一次演算，即无穷次后继演算，才能得到全部自然数。

我薛某肯定承认在自然数生成的无穷过程中。进行了无穷次后继运算必然【遍历了全部的在生成每个自然数时的有穷次后继运算】。反过来，肯定也承认：【没有进行无穷次后继运算，即只进行有穷次后继运算(如n次)，必然没有遍历全部的有穷次后继运算】。也就是说在自然数的生成过程中【进行了无穷次后继运算】⇔【遍历了全部的有穷次后继运算】。

不过要请一阳生先生注意，数学是非常严密的。在数学上分清了右闭区间[0,1]同右开区间[0,1)所包含点的不同，闭区间包含端点1，但开区间並不包含1。因而【小球经过[0,1]中所有点】，同【小球经过[0,1)中所有点】，在数学上并不完全等价。严格地说，应是【小球经过开区间[1,0)中所有的点】⇔【小球经过0.9,0.99,0.999,...这全部无穷个点】。

另外无穷集合的基数不是人去数数得来的，而是全体自然数集合的基数=序数ω的基数。

3、我们说在自然数的生成过程中存在无穷次后继运算，但不存在由0经无穷次后继运算得到的数。这不是错误的，而是客观的事实。

一阳生说【如果存在无穷次后继运算，则必然存在由0经无穷次后继运算得到的数。】这是错误的。没有这样的数。

一阳生说【我们让次数的集合与自然数对应。让{0次}对应{}，{0次,1次}对应{0}，{0次,1次,2次}对应{0,1}，…，让{0次, 1次,2次,3次,…,n次}对应{0,1,2,…,n-1}，…。形成一个对应关系。】

因而所有有穷次的集合{0次,1次,......}对应所有自然数的集合{0,1,2,...}。这是无穷集合。

即全体有穷后继运算次数的集合{0次,1次,2次,3次,…,n次,…}与全体自然数的集合{0,1,2,…,n-1,…}存在一一对应。

全体自然数的集合称无穷序数ω，全体有穷次数的集合你可以将其称为【无穷次后继运算】。无穷次后继运算分明只是同序数ω一一对应的无穷集合。一阳生先生，你怎么能说它就是【由0经无穷次演算得到的数】呢？

所以说一阳生所说的【如果存在无穷次后继运算，那么必然存在无穷次后继运算得到的数。】是错误的。

4、我们多次说过，我们承认的无穷次运算的存在，对于这个无穷次操作的结果必须要有明确的定义。如果无穷次运算被赋予了一个确定的有意义的结果，那么该运算就是有定义的和存在的。反之如果无穷次运算没有被赋予确定的有意义的结果，那么这个无穷次运算就是无定义的和不存在的，即【属于忌用的】。即【无穷运算有定义和存在】⇔【无穷运算被赋予确定的有意义的结果】。

关于生成自然数的无穷过程也有明确的定义。一次演算中由0经有穷次的后继运算可生成一个新的自然数，同时生成一个更大的自然数的有穷集。无穷次【演算】定义为生成全体无穷个自然数，同时生成无穷个有穷集。而这无穷个有穷集的并集，就是此无穷过程生成的所有自然数的集合。这个无穷集合即称为【无穷序数ω】，它当然就是所生成的无穷多个[由0经有穷次告继运算得到的自然数]的全体成员的集合。

5、我们前面讲过， 如果生成自然数的过程全部完成，它只是生成有穷序数的过程的完成。我们还可继续讨论生成其它序数的过程，但仅用后继还生成不了所有更大的序数。 我们知道序数有这样的特性。任何的序数集合都有一个上确界序数，这个序数是通过取在这个集合中的所有序数的并集而获得的。可以令ω是全部自然数(有穷序数)的集合，由于Uω=ω，ω就是全部有穷序数集合的上确界序数，从而生成序数ω，继续使用后继运算x+1=xU{x}，生成序数ω+1，ω+2，...等。也就是说可以利用后继运算以及序数集合的上确界(并集)，生成更多的序数。

要知道在所有序数的生成过程中，仅仅用后继运算生成后继序数是不够的。还要用序数集合的上确界(并集)这种运算来生成极限序数。超穷序数中除了后继序数外还有非后继序数的极限序数。那种认为【 序数中的无穷序数ω甚至2ω等，将不再是极限序数。他们将会是可由后继运算得到的后继序数了。】是完全错误的无知的表現。

当然一阳生所坦露的实情。所说的

【当然我的观点是根据自然数的基本性质，不存在无穷次后继运算和不存在无穷次后继运算直接得到的数。后继运算不能够遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算不能够得到全部的自然数。自然数计数得到的次数的集合事实上做不到与全体自然数的对应。这一切都可反推出命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】是不成立的。而且我前面的文章也已说明，与有逻辑顺序的行为动作相关的性质或命题P(n)不适应全体自然数，不适应数学归纳法的证明。】

就错的更多了。需要很快纠正。

三、几个观点的评论。

1、命题【任何自然数都可由0经有穷次后继运算而得到】。可以看作是自然数的定义。”

一阳生先生说【这个命题若作为自然数的定义，则是循环定义。】这个说法有一定的道理。如果这里的【有穷次】是数学定义的【有穷集合】，而数学中定义【有穷集合】是用自然数定义的。那再用这个词来定义自然数就成循环定义了。

那怎么解释呢？我看关键的是弄清解释，是这里【有穷次】是逻辑的有穷次，不是数学定义的【有穷集合】。就是要知道逻辑先于数学，逻辑的【有穷次】，不是数学定义的【有穷集合】。在逻辑中，有任何逻辑推理只能是【有穷次】这个事实和规律。什么是【有穷次】没有定义，是由人的长期实践经验得来。所以在定义自然数之前，就有逻辑的【有穷次】这个概念。

所以说在自然数定义中用到的【有穷次】是逻辑的有穷次。这样一来。自然数的定义就不存在循环定义了。用逻辑的概念定义数学的概念。 人们用这个原始的逻辑概念定义了自然数，然后才用自然数对【有穷集合】，【无穷集合】作出了严格的数学定义。

另外，这同后继运算和后继数概念无关，也同一动一静两种不同的思维方式方法无关。

2、集合分有穷集合和无穷集合，这是客观事物的属性。至于集合的计数方法和过程，反映了我们对客观事物的认识。如研讨集合的序型，基数等等。

3、由于数学的严密性，我们可以应用开区间这个概念。我们也可以使用时间开区间这个概念。也就是说在小球运动在经过开区间[0,1)的所有时间点，其中不包括时间点1这个时间点时，小球仍然精确地经过位置开区间[0,1)之中的所有的点，以及所说序列的所有无穷个点。

一阳生说【设小球处在开区间[0,1)之中的位置为ε，0 ≤ ε <1。要知道小球在开区间经过的点为[0, ε]，不是[0,1)。小球在开区间内永远无法经过的点为(ε,1)。】是不对的，小球经过了所有的[0,ε]，其中ε<1，则小球经过了开区间[1,0)中所有的点。

4、一阳先生承认了我说的意見，说【简而言之，设小球所处的位置为ε ∈ [0,1)，在0.9,0.99,0.999,...这无穷个点中，处在ε之前的有有穷个点，处在ε之后的有剩余无穷个点。这是对的。说在这无穷个点的任何时刻ε(小球的位置可表示任何时刻)，其已经经过的点，也就是ε之前的有穷个点，都可用自然数计数，也是对的。】

但接着说【但与此同时任何时刻ε之后到1点之间即(ε,1)中，仍然有剩余无穷个点没有被计数到，也无法用自然数计数完。所以只能停用自然数计数法，换成【达到1点与经过这剩余无穷个点等价对应】的计数方法。】

要知道这样的ε无穷无尽，对任何(ε,1)其中还可以有更大的ε存在， ε之前的有穷个点，仍都可用自然数计数，不存在有个最大的ε，需要【 停用自然数计数法，换成【达到1点与经过这剩余无穷个点等价对应】的计数方法。】

事实证明在时间开区间[0,1)中，小球经过了位置开区间[0,1)中所的的点ε。尽管在到达ε点时，(ε,1)中仍然有剩余无穷个点没有被经过，但是小球经过了开区间[0,1)中所的的点，所以根本不需要什么【 达到1点与经过这剩余无穷个点等价对应】。

5、我上次说：〖首先，他设想有一个确定的时刻。这个时刻把这个无穷过程分成两个子过程。他认为有这么一个【关键时空节点与无穷进行等价对应】。认为这个【关健时空节点】就是【1点之前的某点】。认为有一个这样的确定时刻就是他的主观臆想。〗

一阳生说【想不到薛老师对我有如此大的误解。第一子过程经过的点数，用自然数计数，当然是有穷个点或潜无穷个点。小球这时所处的位置为ε ∈ [0,1)。另外关键的时空节点当然是指1，不是指1点之前的某个点ε或位置ε。】

如果一阳生认为第一子过程是小球经过[0,1)中所有的点，第二子过程就是1这个点，那错误就更大了。要知道这无穷个点全在开区间[0,1)中，在时间开区间[0,1)过完后，小球己完成了经过序列中所有无穷个点的任务，那里还需要在时间1时去完成。

一阳生在逻辑上是混乱的。他接着又说【1点之前的某个点或位置是指小球所处的点ε或位置ε。这个点或位置是第一子过程和第二子过程的分界线，处在这个点上的小球仅仅经过了第一子过程中的有穷个点或潜无穷个点，不是无穷个点。】这里又有了我上次说的分界线ε了。一阳生先生。你不是说你的第二子过程就是【 关键的时空节点当然是指1点】，怎么又跑出来个【 位置ε。这个点或位置是第一子过程和第二子过程的分界线，】一阳生本身的逻辑就是混乱的。

四、关于潜无穷过程的定义。

一阳生先生说【我用条件定义，定义的相当清楚明白。居然还能被薛老师歪曲曲解。】

我也看得明明白白，一点都没有歪曲和曲解。我们来看看一阳生怎么说的。他说：“【x趋向于x0】为潜无穷过程，当且仅当，函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义，且对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε。”

一阳生说【 我用【当且仅当】定义他们之间的关系，定义完毕后，双方是等价关系。】

【当且仅当】前面说的是要定义的【潜无穷过程】，后面说的是什么，看得很清楚说的是【对于任意正数ε，总存在正数δ,......】这是什么？这就是极限的ε-δ定义。就是【当x趋向于x0时，函数f(x)趋向于A】。

因而，我薛某说：“他认为【当x趋向于x0时，函数f(x)趋向于A】为潜无穷过程，“，这完全是你的意思。怎么说是【 居然还能被薛老师歪曲曲解】。甚至还要说【 在极限定义中和我的潜无穷过程定义中，根本没有【函数f(x)趋向于A】这种违法违规的表述。】我真不知一阳生先生的逻辑在哪里？

要知道极限概念，并不是潛无穷。当x无限趋近x0时，f(x)无限趋近于A，x没有到达x0和f(x)不一定等于A，但是无限接近的这个集合，所谓【去心邻域】中的点是全部考虑进去了。是实无穷过程，没有尚未完成的任务。没有应该到达而尚未到达的地方。【 潜无穷过程强调运动变化永不停歇】，事实上 没有还需要【让潜无穷过程能一直【潜】下去，不停歇】去做的事。

既然一阳生先生认为【 潜无穷过程永不可能渐变为实无穷过程，从而成为极限的过程。具有独特性质的动态数也永不可能渐变为极限。】不知为什么要用【当且仅当】把潜无穷过程同极限的ε-δ定义说成是【等价关系】？

五、函数与运算的静态和动态关系

其实不应把静态和动态的分析看得过分严重，任何概念都可以作静态和动态的分析。函数和运算可以作一些静态分析，如分析它们的自变量，因变量，定义域，值域，函数关系等。同时也可以对函数和运算的操作，实施和应用进行动态分析。如操作的次数，结果等。静态分析和动态分析常常是密不可分，相互关联的，只要符合定义和逻辑都应该是允许的，都是正确的。

例如动态分析，把运算的有穷次数的集合，同自然数集合建立一一对应。就完全可以建立起来，而一阳生先生却说【 但实际上计数也是有逻辑顺序的行为动作，做不到全部对应。】不知他想说明什么问题。要知道全体自然数就是这样一个个生成的。这个客观的无穷生成过程可以完成。当然让人去实施这个无穷过程是做不到的。这是个客观上的无穷过程，人可以通过推理和思维去认识它的完成。

一阳生最后说【薛老师把动态的运算及计数运算次数的过程看成是能够完成的，并最终归于静态的存在状态。这是动静不分并进行混淆造成的错误认知。】

我不知一阳生先生在说的【动静不分并进行混淆造成的错误】指的是什么？自然数生成的过程是客观上可以完成的动态过程，不是个计数过程。生成过程完成后生成了全体自然数的无穷集合，当然无穷集合可以对其进行静态分析。动态生成过程的完成，对生成的无穷集合进行静态分析，怎么就成了【动静不分并进行混淆造成的错误】。不知一阳生用的是什么逻辑？

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