Zmn-0979 thebeater: 坚决抵制把“ai”说的话当论据，兼评沈卫国的一系列博文

【编者按。下面是thebeater先生的文章，是对沈卫国先生《Zmn-0978》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

坚决抵制把“ai”说的话当论据，兼评沈卫国的一系列博文

thebeater

我是真的大开眼界，居然有人能用什么ai机器人写一篇博文（zmn-0978）然后讨论数学的东西。我最近还跟别人讨论数学问题，他也试图用跟ai的对话作为论据。我希望大家坚决杜绝、抵制这种行为，因为这与讨论数学完全背道而驰。

要讨论现在正火的ai机器人，首先你得大致明白他的工作原理。像chatgpt等ai机器人，背后的原理其实是庞大的语料库。通过语料库，他们知道了什么词后面大概率跟着什么词，哪些词放在一起能形成一句通顺的句子。换句话说，ai生成语句的第一要义，或者说只有一个要义，就是通顺。

但是这与人类说话并不一样。我们说话的时候，通常先大致有一个意思，然后再把这个意思转化成语言。所以人类说话的第一要义是表达意思。其实深究的话，我们日常说话会有很多病句，但大家往往不太在乎，因为只要我懂你的意思就行了。

所以从这个角度来说，ai机器人说出来的并不是“话”，而是“词语的堆叠”。你可以通过一个很简单的例子检查这件事情：让ai生成一句15个字的话。如果是人类的话，肯定先随便想一个意思，然后随便说一句话，然后通过增减字数来表达类似的意思保证15个字。但是ai不存在“意思”这个概念，他可以生成一句话，但是不知道怎么修改。结果就是，ai根本做不到生成这样的15个字的话。另外，你还可以试一下一些简单的、众所周知的数学问题，ai很多时候会告诉你完全错误的答案。

而数学更是如此。对讨论数学而言，背后的逻辑是最关键的，至于怎么表达没那么重要。我们讨论的过程其实是互相沟通、检查逻辑，而不是评判一句话通顺与否。所以这与ai生成的原理完全背道而驰。

所以我一般用这样的ai，会先写好一些话让ai帮我润色一下，但是绝对不会让ai从零开始帮我写，更不会采信他说的任何话。

更要紧的是，现在ai会受上下文的影响而被训练。你的提问也会成为ai的语料库的一部分，甚至具有特别大的权重——这对于设计ai很重要，因为这样显得他在跟你对话，并且记得上下文。但是对于讨论数学来说，这不是件好事。你可以试一下，跟ai反复强调1+1=3正确1+1=2错误，那最终ai就会告诉你1+1=3。所以说，如果你一直向ai灌输一件事，那根据他的算法，他最终就会承认这个。在zmn-0953中沈卫国就说他用chatgpt一通博弈之后终于说服了他承认对角线法没有证明实数不可数，其实就是这个道理。zmn-0978中也是，沈卫国反复诱导ai，向ai强调他自己的论点，那根据ai的算法，当然是投其所好了。

所以结论就是，像沈卫国这样使用ai，还大摇大摆的在这个专栏里这么使用ai，我觉得要坚决抵制。

当然了，计算机本身对数学帮助很大的。比如可以编程来求一些方程的解。我还听说有种计算机语言叫coq，可以检验证明的对错与否。据我所知，coq的用途就是逐步检查逻辑推理。很多证明都经过了coq检验，比如四色定理，比如康托的对角线证明集合和幂集之间不存在一一对应。但是coq的缺点是学习起来比较麻烦，而且只支持最简单的逻辑语句的输入，对于稍微复杂一点的理论就用不上了。如果沈卫国你可以用coq写一个“自然数集合和其幂集之间存在一一对应”的证明，那这一定会名垂青史。

现在说回来实数不可数的证明。虽然我看薛问天和沈卫国有来来回回很多讨论，但是我觉得很多问题薛问天都没有正面回应到点。在这里我试图正面回应一下沈卫国的一系列问题。

首先，我们得明确一下什么叫“对角线证明实数不可数”。在理解这个证明之前，你需要一点关于实数的小数展开的预备知识，包括但不仅限于Cauchy收敛原理，级数的收敛理论比如Weierstrass判别法。用这些预备知识，你得做一些计算，如果给定一个实数，怎么定义他的小数展开，小数展开如何对应到无穷级数，为什么这个无穷级数收敛且收敛到原本的实数，以及什么时候小数展开唯一。如果读者在这里就不知道我说的这些是什么了，建议直接离开，因为不知道什么是“实数”的人没有资格讨论实数的问题。

我在这里把证明过程稍微写一下，方便讨论。可能我写的与原始的证明稍有不同，但是本质上是一样的。

命题：(0,1)中的实数不能不重不漏地排成一列。

证明：反证法，假设实数序列a1,a2,a3,…没有重复且穷尽了(0,1)中的所有实数。对每个实数ai，我们可以把他写成十进制小数：

ai=0.ai1 ai2 ai3 ai4 …

我们重新定义一个新的数：

b=0.b1 b2 b3 b4 …

其中bi这样定义：如果aii（ai的第i位小数）是4，那么定义bi=5；如果aii（ai的第i位小数）不是4，那么定义bi=4。这是个实数，因为这是收敛的无穷级数的求和。

根据定义，b是(0,1)中的一个实数，因此b等于某个an。那有两种可能性，要么an是有限小数，要么an不是有限小数。如果an是有限小数，那么an可能有两种表达方式，一种以0000…结尾，一种以9999….结尾，但是根据构造，b不可能以000…或者999…结尾，所以在这种情况下b不可能等于an；如果an不是有限小数，那么an的小数表达是唯一的，此时根据构造，b和an在第n位不同，所以b不等于an。由此导出矛盾，因此假设(0,1)中的实数可以不重不漏的排成一列不成立。

那么我来正面回应一下沈卫国的若干问题。

Q：对角线法产生的那个实数（即上文中的b）有没有可能是有理数？

A：不可能。证明如下。根据假设，全体(0,1)中的实数已经不重不漏地排成一列了，所以有理数是这一列中的某一部分。具体来说，因为(0,1)中有理数可列，所以记全体有理数为r1,r2,r3,…，那么对每个指标i都存在唯一的j使得ri=aj。我们记j=f(i)，把这个对应看成一个函数，那么就有ri=af(i)。那么根据前面的证明，对任何一个n，b都不等于an；特别地，对任意一个i，b都不等于af(i)，也就是说b不等于任何一个ri，从而b一定不是有理数。

简单来说，因为所有循环小数都列出来了，而b不在其中，那b当然不可能循环。

打个比方吧，b有没有可能是0.44444…呢？不可能，因为根据假设，0.44444…已经列出来是某一个了，比方说是a100，那根据构造，b的第100位是5，所以b不是0.44444…。

Q：如果把有理数排成一列，做前面同样的构造，如果得到的是无理数，那没什么问题；如果得到的是有理数，不就证明了有理数也不可数了吗？

A：没错。事实上，我们可以证明，如果对有理数这么做，得到的一定是无理数。我先重复一下，给定(0,1)中有理数的一个不重不漏的排列r1,r2,r3,…，然后根据前面的构造，可以定义一个实数c。我们来证明c一定是无理数。假如c不是无理数，那么c是某个有理数。因为有理数已经不重不漏的排列了，所以存在某个n，使得c=rn。那么根据前面一样的推理可以得到矛盾。因此，c一定是无理数。

事实上，康托在他最开始的文章里，这个办法的目的就是用来构造新的数的。他把所有的代数数都列出来，然后用这样对角线的方法（最初的版本用的是闭区间套，见我发的zmn0871）构造出了一个数。因为代数数已经全列完了，而这个数不在其中，所以他一定不是代数数，从而是超越数。在1844年，刘维尔第一次构造出了一个超越数，但是1874年康托的办法可以给出很多很多超越数。

Q：如果把新得到的数添加回数列，不就没问题了吗？

A：添加回数列这个操作本身就没有意义，因为“假设不重不漏的列完了”和“新得到了一个不在数表中的数”这两件事情已经矛盾了，那么证明就已经结束了。在逻辑学中有一个常识，从矛盾的两句话出发可以推出一切结论。如果你非要接着我前面写的证明往下推理，因为已经出现了有矛盾的两句话，所以你当然可以证明实数可数。不仅如此，你还可以更大胆一点，还能证明所有实数的平方都小于零，还能证明1+1=100，还能证明实数集合是空集，还能证明我是马云，还能证明马云是女的。

但是如果没有“假设不重不漏的列完了”这个假设，那对角线法确实给出了一个不在这个序列中的数。换句话说，对角线法证明了如下命题：

任给一个数列，都存在一个实数不在这个数列中。

这与“实数不可数”是不同的命题，但是证明方法可以是类似的，并且二者等价。事实上，康托原本最关心的是上述命题，因为他在1874年的文章中就是先取了一列实数，也就是代数数全体，然后通过闭区间套（后续用了对角线）的办法找到了一个新的实数，那自然这是超越数了。

那你可能会问了。如果c1,c2,c3,…是(0,1)中某些实数，那么根据对角线法的构造，一定可以找到一个新的不在这个序列中的实数d1；如果此时我把d1添加回去，那么能不能穷尽全体实数呢？答案当然是否定的，因为我可以再做一次对角线法。

Q：接着前面的问题，如果我做无穷多次，能不能穷尽全体(0,1)中的实数呢？

A：这是个好问题。取决于什么叫“无穷多次”。根据前面的构造，我可以找到d1，然后对序列d1,c1,c2,c3,…可以找到d2，对序列d2,d1,c1,c2,c3,…可以找到d3，一直这么下去。如果做自然数那么多次的话，我将得到一个双向序列…,d3,d2,d1,c1,c2,c3,…。那么这是不是穷尽了全体实数呢？答案当然是否定的。我们还可以找一个新的实数不在…,d3,d2,d1,c1,c2,c3,…这之中。可以这样证明。我们定义序列e(1),e(2),e(3),e(4),…，满足e(2i)=ci、e(2i-1)=di。换句话说，是把正的部分塞进偶数里，负的部分塞进奇数里。那么根据前面的构造，我可以找到一个新的实数f不在e(1),e(2),e(3),e(4),…中，也就是说f不在…,d3,d2,d1,c1,c2,c3,…中了。

也就是说，如果你把对角线构造做“（自然数那么多的）无穷多次”，距离全体实数还是远远不够的。那怎么能得到全体实数呢？你得把这个过程做“（实数那么多的）无穷多次”。什么叫“做实数那么多的无穷多次”需要一点序数的理论和超穷归纳法，这也是康托的贡献之一。但是至少，康托告诉了我们，“无穷”并不是完全一样的，“无穷”可以有不同种类的无穷，不同无穷有多少之分。

Q：对角线法能不能直接证明无理数不可数？

A：什么叫“直接证明”呢？如果你说，我们假设(0,1)中的全体无理数可以不重不漏的排成一列q1,q2,q3,…，然后根据对角线法造出来一个实数x，那能不能得到x是无理数从而推出矛盾呢？那答案显然是不能的。

但是不能又怎么样呢？从来没有任何人说过康托的对角线法能够证明一切不可数的问题。更何况，证明无理数只是这个方法不能直接搬过去而已，我们说要举一反三，不是让你生搬硬套的。

我打个比方，如果证明根号二是无理数，一个很经典的办法是反证：假设是最简整数比，然后平方，分析奇偶性，得到矛盾。我们把这个办法叫做“平方奇偶分析法”吧。那“平方奇偶分析法”能不能证明一加根号二是无理数呢？答案当然是不能，因为平方了之后也分析不出奇偶性。这个时候普通人会说，我们稍微改一下论证，先把1减掉再平方不好吗，我们可以用“减一平方奇偶分析法”啊？是啊，多简单啊。

但是按照沈卫国的逻辑，因为“平方奇偶分析法”不能证一加根号二是无理数，所以“平方奇偶分析法” 证明根号二是无理数有问题。或者反过来说，按照沈卫国的逻辑，根号二加一不是无理数本质原因是根号二不是无理数，但是“减一平方奇偶分析法”不能用来证明根号二是无理数，所以“减一平方奇偶分析法”是错的。

送你八个字，欲加之罪，何患无辞。

那回头说，怎么证明无理数不可数呢？其实很简单。还是反证法，假设(0,1)中的全体无理数可以不重不漏的排成一列q1,q2,q3,…。我们都知道，(0,1)中有理数可以排成一列r1,r2,r3,…。我们重新定义一个序列p(1),p(2),p(3),…，满足p(2i)=qi、p(2i-1)=ri。然后对序列p(1),p(2),p(3),…用对角线法得到一个新的实数y，根据前面的证明，首先y不是有限小数；其次y与序列p(1),p(2),p(3),…中的奇数位置的数都不同，所以y不是有理数，所以y是无理数；但是y与偶数部分的数也都不同，而偶数部分是全部无理数的排列，这就导出了矛盾。这个证明，难道不是用对角线法直接证明无理数不可数吗？只是你自己光会生搬硬套，不会活学活用而已。

Q：对角线法有一个隐含假设，那就是位数与罗列实数一一对应。

A：是啊。无限小数就是一列数字，而一列的意思就是每个自然数对应一个位置。这确实是隐含的假设，但问题是，这就是实数的定义啊。实数的无限小数展开，不就是小数点后面跟着自然数那么多位数吗？

沈卫国还在zmn-0949中说：

“那你为什么不把可数的定义改成“与位数一一对应就叫可数”啊？不要讲什么这与“与自然数一一对应就叫可数”是一回事。如果真是一回事，不是两回事，为什么可数的定义中只提自然数，而不提位数？不是一样吗？既然一样，不是说哪个都行啊？去把教科书中的可数定义，都改成“可以与位数一一对应”（况且这实际是康托对角线法的真实情况），再来跟我理论。”

我真的不知道沈卫国在说什么。本来就是一回事啊，你想改成“与位数一一对应”当然可以改了啊，反正也是一回事。众所周知，如果A与B一一对应，那么B与C一一对应当且仅当A与C一一对应。如果沈卫国觉得这是个问题，那我只能再送那八个字，欲加之罪，何患无辞。

Q： “实数显然还有其它表达方式，比如“根号下2”。这类表达反而可以解决在数轴或平面上的精确定位问题。而单纯的非循环无穷小数，根本就无法在数轴上精确定位”（引自zmn-0951）

A：如果你不知道Cauchy收敛原理和Weierstrass级数收敛判别法，建议不要参与讨论与实数有关的问题。

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