Zmn-0970 李鸿仪: 集合论的一些错误与薛问天的为错误辩护的无效性

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集合论的一些错误与薛问天的为错误辩护的无效性

 李鸿仪 Leehyb@139.com

集合论问世后，在数学界得到了广泛的应用。在集合论中，有限集合相对成熟，甚至已经进入中学教育，无限集合则存在很多问题，甚至可以说是从头到尾都错了，如果不尽快解决， 不但对数学的进一步发展会带来很大的隐患，对于人类思维能力的培养也具有很大的负面甚至是摧残作用。

集合论无限部分的错误有很多，本文将逐一讨论

一 集合论没有清楚地讨论无限集合元素数目这一最基本的概念

任何事物都是有数目的，元素当然也不例外。集合元素数目这一概念是集合论最基本的概念之一。有限集合的元素数目非常简单，无限集合的元素数目其实也非常简单，但传统集合论并没有找到直接研究无限集合元素数目的可靠方法，只好讨论了与元素数目有很大差异的所谓基数，从而产生了很多矛盾和错误。

其实，要直接研究无限集合的元素数目非常容易，例如，把A={1,,2,3,……}的每一个元素都乘以2得到的集合

  A1={y|y=2x,x∈A}={2,4,6,……}，                                     (1)

 这个操作只不过是改变了集合A中每一个元素的数值，并没有改变元素的数目，故集合A和A1的元素数目是精确一致的。

再例如，任何无限集合的元素数目必然是比其真子集多的，由此也可判断无限集合元素数目的多少。例如，A和A1的元素数目相同，所以A1不可能是A的偶数真子集（这个很重要，很多错误认识，例如伽利略悖论，都是由于没有认识到这一点所致）。而下述只在A中提取偶数的操作

 A1*={x|x mod 2=0,x∈A}={2,4,6,……}                        （2）

得到的集合A1*才是A所包含的偶数真子集。

因此，A与A1之间的一一对应，并不是A与其真子集A1*之间的一一对应。

     由此可见，无限集合的元素数目非但不是不能研究，而且还可以很可靠甚至很精确地研究，所得到的结果也高度可靠。

通过对无限集合元素数目可靠甚至精确的研究，可以发现传统集合论中的更多错误。 

二 集合论错误之二，误以为无限集合的外延是不变的

如前所述，由于A1*是A的真子集，故A1*的元素数目必然比A少，而A1的元素数目又与A精确一致，故A1*的元素数目必然比A1少。

也就是说，虽然A1*和 A1都是偶数集，但是由于其元素数目不同，外延当然也不同，故两者并不是同一个集合，或者说偶数集并不是唯一的。

伽利略误以为只存在一个偶数集（伽利略时代虽然还没有集合概念，但用现代的眼光来看，他讨论的其实就是集合），故A1=A1*，所以认为这里存在悖论，后人将其称为伽利略悖论，该悖论延续四百多年至今未有人能正真破解。

本文严格证明了A1≠A1*，即偶数集不是唯一的，这样就彻底消解了伽利略悖论：既然与自然数集A一一对应的偶数集A1并不是A的真子集A1*，当然并不存在部分等于整体这个悖论。伽利略混淆了A1和A1*，所以才产生了悖论。

伽利略悖论应该是数学史上 对无限项数目这一概念感到迷茫不解的开端，希尔伯特对此也束手无策。康托的基数概念似乎绕过了这个问题，然而实际上并没有，也不可能真正绕过:问题摆在那儿，在没有解决之前是不可能真正绕得过的。

本文引入可靠甚至精确地比较元素数目的方法，并加以小心细致的推导，很容易地消除了该悖论，从而彻底消除了笼罩在无限集合元素数目这一基本概念上的迷雾，还数学界一个清平世界。

    同理，将A1的每一个元素减1得到的奇数集合A2，

 A2={y|y=x-1,x∈A1}={y|y=2x-1,x∈A}={1,3,5,……}，    (3)

其元素数目也是与A或A1精确一致的，且A2也不是A的奇数真子集，而操作

 A2*={x| (x+1)mod 2 =0,x∈A}={1,3,5,……}                 （4）

得到的A2*，才是A所包含的奇数真子集。

设自然数集合

 A3=A1UA2，                                                               （5）

 A1，A2都是A3的真子集，故A3的元素数目必定多于真子集A1或A2的元素数目。而A1，A2，的元素数目又都精确地与A的元素数目相同，故A3的元素数目必定是比A多的。即A≠A3，我们实际上也已经证明了以下定理：

定理1自然数集合的外延是不断扩大的。

证明，A3和A都是自然数集合，但是A3的元素数目多于A，同理，用上述方法可以从A3得到与A3的元素数目一样多的偶数集合A4和奇数集合A5，则A6=A5UA4的元素数目多于A3……这个过程可以永远进行下去，从而使自然数集合的外延不断扩大。证毕

推论1，自然数集合不是唯一的。

推论2，不存在一个包含所有自然数的自然数集合，即无穷公理不成立。

推论2的证明：假定A是包含所有自然数的自然数集合，则A3比A包含了更多的自然数，矛盾。同理，假定A3是包含所自然数的自然数集合，则A6比A3包含了更多的自然数，矛盾。所以，不存在一个包含所有自然数的自然数集合，证毕

如前所述，这些推论显然也可以应用到偶数集合或奇数集合，从而有：

推论3，偶数（或奇数）集合不是唯一的。

推论4，不存在一个包含所有偶数（或奇数）的偶数（或奇数）集合。

传统集合论中，为了方便，把集合的外延固定了下来，这对于有限集合并没有问题，但由定理1可见，对于无限集合，其外延是不断变化的，因此，将无限集合的外延固定下来必然会导致错误。

三  错误的纠正：外延可变集合的建立

因为定理1证明了自然数集合的外延是无限扩大的，故必须建立外延可变的自然数集合。

      定理2 设n为无上界的正整数变量，则N={1,2,3……n}是一个外延可变的无限的自然数集合:

      证明 ①因为n是一个变量，所以N的外延可变。②对任意大的自然数n*，只要令n﹥n*，则n*∈N成立，即N是一个无限集，证毕

    称这样定义的集合为弹性集合。

    若n为有界的正整数变量，则N为一个有限的弹性集合。

四 弹性集合的初步应用:动态变化着的集合外延的比较

设n和m分别为无上界的正整数变量，不难用外延公理证明，当且仅当m=n时，{1，2，3……n}={1，2，3……m}，若m>n，则自然数n+1~m 只属于等式右端的集合，即两个集合不同。

例如，由定理1的证明可见，虽然A和A3都可以表示为{1，2，3……}，很多人因此误以为它们是同一个集合，但用弹性集合的概念很容易解释它们是不同的：设A={1，2，3……，n}，则A3={ 1，2，3……，m}，且m>n,自然数n+1~m属于A3但不属于A，根据外延公理，A≠A3。

同理也可以证明，偶(奇)数集合也可以是互不相同的，这样就不会存在伽利略悖论了。

      任何悖论都是错误的产物，本不应该存在。

由此可见，对弹性集合来说，虽然其外延在不断变化，但仍然很容易判断集合是否相同。

误以为集合的外延一定要固定下来才能比较，是传统集合论错误的根源：既然只有外延固定的集合才能互相比较，那么当然就只能把无限集合的外延也固定下来了，但实际上无限集合的外延无法固定的(见定理1及其证明)，从而就造成了种种错误。

四 弹性集合的重要应用之一: 无限集合不能与其真子集一一对应的证明

对集合N1={0}UN，若N={1，2，3……n}，则N1={0，1，2，3……n}，无论整数变量n如何变化，也无论N是有限(n有上界)还是无限集合(n无上界)，N1比N永远多了一个元素，且该事实与元素的排列次序完全无关， 所以N1中永远有一个元素在N中是找不到原像的，即无论采用哪种单射法则，N与N1都不能一一对应。

由此可见，所谓无限集合可以与其真子集一一对应，根本就是数学史上最愚蠢的一个笑话。而所谓”双射只要证明有一种单射是双射即可，其余单射不是双射也没有关系，而不能双射则要求证明所有的单射都不是双射”的想当然也是不准确的:能否一一对应只与元素数目是否相同有关，与元素如何排列无关，即与采用何种单射无关。也就是说，只要证明一种单射是(或不是)双射，就说明两个集合的元素数目是(或不是)一样的，这样等于证明了任何单射都是(或不是)双射了。

由此再次可见，没有严格证明的想当然是多么的不可靠。

五 弹性集合的重要应用之二: 无限自然数集合的元素数目，基数理论的错误

弹性集合N={1，2，3…n}的另一个简单且更有意义的应用是:无限自然数集合的元素数目是变量n，这样，所谓的基数和超穷数理论就变得完全错误且毫无意义了。例如，根据超穷数理论，自然数集合的基数阿列夫0是固定的，显然错误。

既然是变量，集合的交集为空时，当然可以进行加和等四则运算，这就为进一步研究无限集合元素数目敞开了大门。例如，很容易证明，A3的元素数目是A的两倍，A1*元素数目是A的1/2等。再例如，{1，2，3……n}和{1，2，3……n+1}虽然都可以表示为{1，2，3……}，但并不是同一个集合，两个集合的元素之差为1。

小结

既然集合论的无限部分存在如此多的错误，如果不尽快消灭这些错误， 不但对数学的进一步发展会带来很大的隐患，对于人类思维能力的培养也具有很大的负面甚至是摧残作用。

用热力学的语言来说，要想使”脑熵”变小，即使得人变聪明，需要大量的学习和用功，而脑熵的变大，却是一个不可逆的自发过程。教育本来是使人脑熵变小的有效方法，如果教学中混入了错误的东西，又要强制人们去接受它，就会反而使人的脑熵变大，这个后果太可怕了！

所以，清除错误，势在必行！

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薛问天先生：

你能仔细看我的文章，我很高兴，但是你的评价似乎并不客观，有时候甚至陷入为反对而反对的泥潭。

比如，如果认为上述定理1和定理2的证明及其应用有问题，请明确具体指出问题出在哪里？并从逻辑角度充分说明理由或给出严格的证明。没有充分理由的贴标签式的否定或者是抽象的否定都存在着”为反对而反对”的嫌疑，没有学术价值，甚至可以看作是你的自我否定，你的潜台词很可能是:”你是对的，我找不出错，但是为了面子我又要反对，所以只好为反对而反对了。”

    如果认为没有问题，请回答下列问题:

    ① 你的集函数和集合序列能否如此简洁地得出上述应用结果，如果可以，请给出具体的推导过程。由于这些应用结果显然与你以前坚持的”无限集合可以与其真子集一一对应”，“存在全体自然数”等理论相悖，请回答，为什么你以前还要坚持这些理论？为什么你的逻辑是如此前后矛盾一团糟，反而还要说别人一清二楚，毫无瑕疵的逻辑一团糟？

    ② 如果给不出，请不要再把弹性集合与什么集函数或函数序列这些除了把简单的问题复杂化以外，什么都做不了的概念相混淆了。

数学很简单：对的就是对的，错的就是错的，白纸黑字，一目了然，一清二楚，为错误辩护是没有意义的。

最后，不要以为外国人的东西就一定是好的。中国人只是起步较晚（以我个人为例，我的专业并不是数学，虽然在数值计算、计算机数学等领域发表过一些数学论文，但集合论是退休以后才接触的，起步较晚），但只要克服了自我矮化的洋奴哲学，以中国人的智商，后来居上甚至傲视群雄，并不是不可能的。

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