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Zmn-0957  黄汝广: 哥德尔不完全性定理是悖论还是循环论证?

已有 721 次阅读 2023-4-1 12:04 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0957  黄汝广: 哥德尔不完全性定理是悖论还是循环论证?


【编者按。下面是黄汝广先生的文章。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】



哥德尔不完全性定理是悖论还是循环论证?

黄汝广

【摘要】策梅洛曾致信哥德尔,称发现了其不完全性定理证明的一个致命漏洞,而哥德尔在给策梅洛回信中辩称,其证明的关键在于“可证”与“真”的概念区分。但是,笔者认为,哥德尔的这个辩解实际上只不过是一个循环论证而已。最后,通过考察欧几里得平行公设不可证性(也即独立性)的历史 ,会更容易理解哥德尔证明的无效性!


从有关资料可以知道,策梅洛与维特根斯坦都认为,哥德尔不完全性定理实际上不过是说谎者悖论的一个复杂变体。尽管哥德尔在1931年的论文中,也承认其不完全性定理的证明,与说谎者悖论与理查德悖论都很类似[1],但他并不承认是一个悖论。这充分体现在1972年他对维特根斯坦有关不完全性定理看法的评论中:“维特根斯坦并不理解它(或者是假装不理解它)。他把它理解为一种逻辑悖论,而事实上恰恰相反,它是数学的一个绝无争议的部分(有穷数论或组合数学)之中的一个数学定理。”[2]

策梅洛曾在1931年9月21日致信哥德尔,声言发现了其证明中的一个致命漏洞。但哥德尔在10月12日的回信中辩解说,策梅洛误解了他的证明,而这个误解之处正是其证明的关键之点,并特别对“真”和“可证”作了区分:“真公式类W永远不与系统自身的类记号重合(因为假定如此会出现矛盾)。可证公式类B却与系统自身的一个类记号重合;足见B与W不会相互重合。但是既然W真包含B有效,它就给出了一个不可证的真公式。既然A是真的,那么非A也不可证,这就是说,A不可判定。”[3]简而言之,“真”和“可证”的区分,即:“可证”的必定“真”,但“真”的未必“可证”。[4]

刘晓力认为,这封信无疑可以看作哥德尔以区分“真”和“可证”为策略给出的第一不完全性定理证明梗概的最好文本。然而奇怪的是,哥德尔在1931年论文中根本没有明确提及这一点。哥德尔的这一奇怪做法,刘晓力认为可以用哥德尔1970年的一段话加以解释:“由于时代的某些哲学偏见,……与可证性相区分的客观数学真理的概念被当做是极端可疑的因而是无意义的而被普遍反对。”[3]

但是,按照这个解释,哥德尔的证明就应该构造一个不可证的客观数学真理才对。然而非常讽刺的是,即便是哥德尔的支持者麦肯齐,也认为:虽然哥德尔不完全性定理的哲学意义可以和海森堡不确定性原理相提并论,但其数学意义却无人喝彩——究其原因,是哥德尔并没有找到一个有实际数学内容的不可证明陈述[5]。在哥德尔的支持者中,这观点也算是一针见血了,而哥德尔的另一位支持者侯世达,甚至怀疑根本就不存在不可判定的公式[6]。

不过更奇怪的是,在近四十年后,哥德尔却又说其不完全性定理表明“真”不能等同于“可证”,也即该区分不再是其不完全性定理的证明前提反倒是推论了。[2]这明显是在循环论证:因为哥德尔关于“可证”与“真”的区分,本质上就意味着存在不可证的真命题,这实际上是事先预设了其不完全性定理的正确性!

我们知道,哥德尔不完全性定理的证明,最终体现在以下两个命题的证明:17Genr不可证,且Neg(17Genr)不可证[1]。当然,周训伟已经指出哥德尔的证明过程有误[7],但我们这里暂时假设它是正确的。

既然哥德尔还要使用反证法,他就必须承认排中律,但为了不违反排中律,哥德尔却不得不对“不可证”与“假”进行区分,具体讲即:“假”的必定“不可证”,但“不可证”的未必“假”;假设“不可证”等同于“假”(或者“不可证”的必定“假”),那么哥德尔的两个证明——17Genr不可证,且Neg(17Genr)不可证——显然就违反了排中律。

当然,从另一个角度看,“不可证”与“假”的区分,实际上也就是“可证”与“真”的区分。因此,要么哥德尔进行上述区分,从而其不完全性定理是一个循环论证;要么哥德尔不进行上述区分,从而其不完全性定理是一个悖论。

曾有人指出:“应该记住一点,一个很长的讨论是谬误的最有效的面纱。当诡辩以浓缩的形式呈现于我们面前时,像毒药一样,它立即会被防备和厌恶。一个谬误若用几句赤裸裸地加以陈述,它不会欺骗一个小孩;如果以四开本的书卷‘稀释’时,这可能会蒙骗半个世界。”[8]哥德尔不完全性定理的证明恰是这段话的最好注脚,一旦抛开那些繁杂的所谓技术细节,我们就不难发现:哥德尔不完全性定理要么是一个悖论,要么是一个循环论证。

当然,证明过程无效,未必结论就不成立。事实上,在布劳威尔看来,没有任何形式系统能包含全部数学是理所当然的;王浩认为这一评价并不公正,因为看出这一点并不难,而要想在形式系统内构造一个不可判定的命题非要做更多工作不可[3]。王浩这一看法,当然是基于他认同哥德尔的证明,然而事实上其证明是无效的。不过,哥德尔不完全性定理在认识论上确实有一定的哲学意义,但也仅仅止于此,它最多可以看作认识论上的一个先验假设或公理,而不可能被证明。

关于这一点,欧几里得平行公设或许可以给我们一些启发。如果把欧氏几何平行公设之外的部分作为一个公理体系称之为基础几何,平行公设的独立性显然表明基础几何是不完备的,因为在基础几何中三角形内角和等于多少是不可判定的。但人们最初并不这么认为,而是试图由基础几何来证明欧几里得平行公设,而且历史上也确实曾有很多人宣称证明了,但人们最终发现这些证明都是循环论证,也即证明时隐含地使用了与欧几里得平行公设等价的东西[9]。

对于一个独立的命题,比如欧几里得平行公设,我们最好采取庞加莱的约定主义观点:欧几里得平行公设无所谓真与假,我们既可以认为它真,也可以认为其否定为真,这纯粹是一个约定。但重要的是,把其中之一作为公理加入基础几何后,我们可以推出很多新的定理,而不是矛盾!

一个命题A与其否命题~A在系统P中不可证,实际上也即A独立于P,而要证A独立于系统P,公认的方法是构造模型法:构造系统P的一个模型M,使得A在模型M中不成立。这是因为系统P的所有公理在其任一模型M中都成立,所以由P推出的所有定理在其任一模型M中也都成立。若由P可以推出A,则A在P的每个模型M中都成立;换言之,若存在P的一个模型M,使得A在其中不成立,则P推不出A,也即A在P中不可证[9]。但是我们发现,哥德尔的证明并没有采取这种模型论的构造性方法,而是采用的反证法。

很显然,如果哥德尔不完全定理是正确的,那么无论命题17Genr还是其否定命题Neg(17Genr),都将是独立于公理系统P的。换句话说,无论假设命题17Genr或者其否定命题Neg(17Genr)可证,都不可能与公理系统P一起推出矛盾,从而反证法也就没有了用武之地!这正如,尽管欧几里得平行公设事实上不可证,但是假设它可证决不会导致矛盾!因此,如果哥德尔不完全定理是正确的,那么他的证明过程就是无效的,这将是一个悖论!

参考文献

[1]  陈波主编. 逻辑学读本[M]. 中国人民大学出版社,2009.

[2] 王浩.逻辑之旅:从哥德尔到哲学[M]邢滔滔,郝兆宽,汪蔚译.浙江大学出版社,2016.

[3] 刘晓力.理性的生命——哥德尔思想研究[M].湖南教育出版社,2000.

[4] 张建军.逻辑悖论研究引论(修订版)[M].北京:人民出版社,2014.

[5] 达纳·麦肯齐.无言的宇宙——隐藏在24个数学公式背后的故事[M].李永学译.北京联合出版公.2015.

[6] 侯世达.哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成[M].本书翻译组译.商务印书馆,2014.

[7] 周训伟.哥德尔不完全性定理的证明过程有误[J].重庆工学院学报.2007,21(2):68-71.

[8] 陈波.逻辑学导论[M].中国人民大学出版社,2016.

[9] 李云普,任国朝.几何基础[M].高等教育出版社,1995.




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