Zmn-0948 薛问天:  随变量变化的集合是集合函数，如其自变量是自然数，則是集合序列，评《0947》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-0947》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

随变量变化的集合是集合函数，若自变量是自然数，则是集合序列，评《0947》。

薛问天

一，对【变化】和【稳定】要有全面的认识。认为集合论不研究变化是错误的。集合论中的集合序列和集合函数就是对集合变化的研究。

对事物要有全面的认识，最忌讳的就是【片面】。在认识任何事物都是运动的，是【变化】的同时，一定还要全面地认识到，事物的变化还有【相对稳定性】。如何研究变化的变量，则一定要明确，变量在瞬时，是不变的常量。变量要取常量为值，变量有变域，变域就是这个常量构成的集合。

康托尔对集合的说明，明确说明集合的元素，其对象是确定的，是对相对稳定性进行的研究。同时说明这些对象元素是相异的。表示不考虑相同元素，例如集合只考虑{1，2}不研究{1，1，2，2}，不允许集合中有相同的元素。

李先生说【我们抛石子的时候，我们可以确定它的轨迹是抛物线，这并不等于石子本身的坐标是固定不变的。】要知道轨迹是抛物线的意思就是对每个时刻，石子的坐标是确定的值，轨迹就是石子的坐标随时间坐标的确定的函数。

李先生说的可变集合也是如此。任何确定的时刻，可变集合都是确定的集合，他说的【可变集合】实际上就是集合论中确定集合的函数或序列，并不是什么新的概念。

李先生所说的【固定集合】，就是集合论中的有限集合。因为他所说的元数为自然数，就是有限集的个数。这在集合论中有确切的定义。他所说的【可变集合】，所用的定义【外延可变】指的就是有限集合的元数个数可变。【元数n为正整数变量】，指的就是这些有限集的元素个数是正整数变量。这在集合论中都有严格的定义。因而他所定义的【可变集合】就是〖有限集合的序列〗，〖是个函数，它的因变量的论域(值域)是由所有的【自然数有限集合】构成的集合。由于它的自变量的论域(定义域)是由所有的【自然数】构成的集合。 〗这个集合函数就是集合的序列。

要知道集合序列，集合函数，引入变量，这并不是什么新的概念，它的确切含义在数学中都有严格的定义，只不过是李先生给它起了个新的名称叫【可变集合】【弹性集合】【相容集合】而已。

李先生说【我并不是在定义函数，也不是在定义有限集合组成的无限序列，我定义的是无限的弹性集合。】【我根本就没有定义序列】。但这只是他的主观臆想。这由不了他的主观意志。要知道他定义中说了【当元数n为正整数变量】，说了【集合A为外延可变的集合】， 就已经把【可变集合】定义为集合序列和集合函数了。因为以正整数为变量的对象就是序列，序列就是定义域为正整数的函数。序列的项为集合，那这个序列就是集合序列。函数的值是集合就是集合函数 。

李先生的思维就是这么混乱。明明地他还用了这个集合序列形成的个数序列去求极限。却说【我根本就没有定义序列】。难道数学分析中的极限能不是序列和函数的极限吗，沒有序列和函数哪来的极限？

也就是说，他的定义并沒有引入新概念，只是对集合序列起了个新的名字，然后导出了很多错误而已。

二，无穷集合的所有元素不可能一个个地全部同时呈現在你的面前通过感观完成。但是人们可以通过思维，推理认知这个无穷的完成过程。可以通过逻辑推理认知过程完成所形成的确定的集合。

李先生所说【自然数序列可以通过加1而无限地增加，这是一个不以人们意志为转移的客观规律。】要知道这是所有自然数的集合的生成过程。只有自然数生成时的有限集合，才有最后一个数，才能通过对这个数加1增加一个新的自然数。形成有限集合的无穷序列。但无穷集合的生成过程完成后，对于所有自然数形成的无穷集合，沒有最后一个数，所以不能通过加1而增加自然数。虽然人的感观有限，无穷集合的所有元素不可能一个个地全部同时呈現在你的面前。但是人们可以通过思维，推理认知这个无穷过程的完成。可以通过逻辑推理认知过程完成后所形成的确定的集合。

必须认清李先生所说的可变集合，{1,2,3,...,n}(其中n是变量)，指的是有限集合A1={1}，A2={1.2}，...,的无穷序列。这个序列反映了【所有自然数集合】的生成过程中出現的有限集合，但这个序列并不是【所有自然数集合】。要知道自然数是肯定在序列的某项，即变量取某值时的固定集合中出现的元素。因而【所有自然数集合】N是这个集合无穷序列的并集。即N=A1UA2UA3......。并集等于N的无穷序列可能很多，但并集N只有一个。由于N是确定的集合，当然N这个集合，它的【集合的元素都是必须确定的，集合的外延当然也是不能变的，】这是完全正确的，沒有李先生所说的什么【狭义地认为】的意思。【所有自然数集合】包含所有自然数，不能变成还包含非自然数作为元素。它的外延当然是确定的不变的。【所有自然数集合】当然是唯一确定的集合。

三，【所有自然数集合】的无限真子集是自然数集合，它当然可以有很多，但【所有自然数集合】是唯一确定的集合。

李先生为了反对【所有自然数集合】是唯一确定的集合，举了一例。他说如果取自然数集合N【的一半元素】组成N*，则N*仍然是一个无限集合，N*是不同于N的另一个无限的自然数集合。

什么是集合N【的一半元素】组成N*，对于有限集【一半】是很清楚的，但对于无限集来说【一半】并不清楚。我们暂不讨论这个问题。就假定N有无限的真子集N*，这当然没有问题。N*是无限集，且是N的真子集不等于N。

李先生却说【N*是不同于N的另一个无限的自然数集合。这就证明了，自然集合的外延可变，不是唯一的。】【这就证明了，自然集合的外延可变，不是唯一的。无穷公理并不成立。该公理认为，存在着一个已经包含了所有自然数的集合，既然已经包含了所有自然数的集合，这个集合当然是唯一的。】

李先生的逻辑如此混乱。存在着不同的无限的【自然数集合】N*，怎么能证明集合论公理断定存在唯一确定的【所有自然数集合】不成立！要知道N*是与N不同的无限的【自然数集合】，它并不是【所有自然数集合】N，怎么能否定N的唯一确定性。无限的【自然集合不唯一】，但【所有自然数集合】N，却是唯一的确定的。

李先生所举的无限学生的编号集合的例子，这些编号集合是无限的【自然数集合】，当然可以不同，但它们都不是【所有自然数集合】，所以它们的不同并不能否定【所有自然数集合】的唯一确定性。

另外，李先生说【与自然数一一对应的偶数集合与自然数集合里面的偶数组成的偶数集合并不是同一个集合】，这种说法也是完全错误毫无根据的。怎么判定集合A和集合B是同一集合。按外延公理就是只要证明凡是属于A的元素都属于B，而且反之也成立，即凡是属于B的元素也都属于A。就证明了A同B是同一集合。我们用此法可以非常容易地证明与自然数一一对应的偶数集合与自然数集合里面的偶数组成的偶数集合是同一个集合。我们承认它们是同一个集合是经过严格地证明，並不是如李先生所说，是【一看到相同的表示形式，就认为其外延一样，是同一个集合，】从表示形式不足以说明【是同一个集合】，要严格证明。对给定的集合必须关注它的定义，不能简单地只看它的表示形式，对不同的集合，有时可能用的省略号相同，但它代表的内容是可能完全不同的。所以讨论集合必须严格关注它的定义，而不是【它的表示形式】。

四，下面我们来指出李先生定义中的逻辑和概念的混乱。

李先生用很长段表述了他的定义。他说【为此，笔者引入了无上界正整数变量n，称为无限变量，并把无限的自然数集合表示为 

{1，2，3，……，n}                     (1)

显然，在这种表示法里面，......】

我不全引了，大家可以对照着原文来看我的评论。

我己明确指出李先生定义的称为【变化集合】的{1.2.3.….n}，n是变量。由于n是以自然数为变域的变量。所以这是集合函数，是有限集合的无穷序列，A1={1}，A2={1,2}，...。把这【有限集合的无穷序列】，说成是【无限的自然数集合】是完全错误的。实际上是无穷序列的并集才是【无限的自然数集合】。而且这个具体的无穷序列An的并集，是【全体自然数集合】。如果这个无穷序列的项有所不同，不是{1.2,3,...,n}，而有其它安排，如{2,4,6,...,.2n}等，则该无穷序列的并集才是其它的【无限的自然数集合】。

李先生说这个无穷序列【它的外延的表达十分清楚】，显然不正确。实际上是变量取具体值时，序列的每个项的外延是明确的。序列本身并无外延。【变化集合】就不是集合，序列不是集合哪来的元素，哪来的处延？李先生你认为你的【变化集合】的元素是什么？外延是什么？

李先生说【传统表达法中，由于不同外延的自然数集合都表示成{1，2，3......}，看上去一摸一样，根本无法区别，】这纯粹在乱说，在集合论中给出的任何自然数集合都要确切地给出它的定义，如偶数集奇数集质数集等都给出了它的确切定义。哪有用【看上去一模一样】的表示来给定自然数集合。这是李先生自己的胡乱表示，根本不符合集合论的要求。

要知道李先生用N*表示的{1,2,3,...,n}(其中n是变量)，用N表示的{1,2,3,....,2n}(其中n是变量)。这两个无穷序列当然是不同的序列。但是要注意它们的并集是相同的【自然数集合】(即【所有自然数集合】)。

不能认为n+1~2n是【属于N但不属于N*的元素】，因为N和N*並不是集合，而是序列。它本身并没有【属于的元素】。只能说n+1~2n它们是【属于N的第n项集合但不属于N*的第n项集合的元素】。这样才合适。

李先生说由此得出结论，N和N*【并不是同一个集合】。这显然不对，只能说N和N*【并不是同一个序列】。因为两个序列的第n项不同，所以是不相同的序列。要知道集合的相同与不同是要根据它含有元素是否相同来判定的。

李先生说【我们未必能找出某些特定的、只属于某一个集合而不属于另一个集合的元素，但这并不等于两个集合是相同的。】说错了，数学是严格的。如果证明了不存在【某些特定的、只属于某一个集合而不属于另一个集合的元素，】则就证明了【两个集合是相同的】。

李先生的【变化集合】根本不是集合，没有确定的元素，根本无法判定【变化集合】是否相同。说N和N*【并不是同一个集合】显然不对。

另外请李先生注意，N和N*两个序列虽然不同，但N的并集和N*的并集却是相同的集合。都是【所有自然数集合】。

五，什么是两个集合的【一一对应】。这在数学上有严格定义，那就是两个集合间存在双射。不能随意地主观地乱用【一一对应】这个概念。

李先生就爱乱用。他把它随意地用到他的【变化集合】即【集合序列】上。

李先生说【采用这种这表示法，还很容易看出N1={0}UN与N是不可能一一对应的。】

N同N1这两个集合间存在着y=x-1这个双射，当然一一对应。李先生却乱说它们【不可能一一对应】。

李先生说【设N={1，2，3，……，n}，则N1={0，1，2，3，……，n}，无论无限变量n如何取值，两者永远不能一一对应，】

你所说的【无论无限变量n如何取值，两者永远不能一一对应，】指的是这两个序列的任何第n项都不一一对应，怎么能由此得出结论说序列的并集N和N1不可一一对应呢？此例倒正好说明这两个序列的任何第n项都不一一对应，但可证明序列的并集N和N1间存在双射，是一一对应的。从此看出李先生的逻辑推理如何混乱。

李先生说【康托其实是认为N={1，2，3，……，n}与N1={0，1，2，3，……，m} 中的n和m是两个独立的变量，】

李先生认为【康托其实是认为】【n和m是两个独立的变量】，这纯属李先生的捏造。在集合论中不论集合无穷序列的自然数变量是独立的或者相关的变量。它们的并集N和N1 都是两个确定的集合，并且可证N和N1一一对应，N集与N1里的子集N是同一集合。

另外，需要指出的是李先生把有严格定义的【一一对应】同没有定义的【元素数目相等】联系起来的错误。

李先生说【根据一一对应的定义，无论是有限集合还是无限集合，既然A，B的每个元素都互相一一对应了，A，B的元素数目当然是严格相同的，】

要知道对于无穷集，两个集合的【一一对应】有严格的数学定义，存在双射。但对两个无限集合的【元素数目相等】，并无定义。而李先生坚持集合同它的真子集【元素数目不相等】。但在坚持这个原则下还要说所有【一一对应】的两个集合【元素数目当然是严格相同的】就错了，因为这里有矛盾。可以证明存在有无限集合同它的某真子集【一一对应】。因而李先生说所有【一一对应】的两个集合【元素数目当然是严格相同的】这个论断的错误【这本来也是一个简单到不能再简单的事实】，因为人人皆知引出矛盾的论断是错误的论断。李先生想把此【造成了极大的思想混乱】的矛盾论断的错误，归结为康托证明了N*同它的真子集N的【一一对应】。要知道这个证明是根据【一一对应】的定义，严格证明的。李先生想否定这个证明完全徒劳根本做不到。提不出任何跟据和理由，却毫无道理地说【用（1）式表示自然数集合后，却一眼就能看出其中的错误。】要知道这纯粹是在乱说，(1)式表示的是集合序列，哪里是自然数集合，序列的并集才是【所有自然集合】。怎么能【一眼就能看出其中的错误】。要否定别人的证明必须拿出证据来，不能凭空吹捧你的主观【一眼】。这是数学的基本常识。

李先生所说的【一一对应理所当然地只能在元素数目严格相等的集合之间进行】，这纯粹是李先生不切实际的幻想。坚持集合同它的真子集元数数目不等，就不能说一一对应就一定保证元素数目严格相等。

这个事实早在百年前就已被康托尔指出，可直到现在，李先生仍然迷惑不解，真是可悲。

关于什么是数学上的【一一对应】，直到現在李先生都没有搞懂。两个集合【一一对应】指的是存在双射。要知道两个集合间存在的映射很多。只要有一个映射是双射，就是【一一对应】，存在双射的两个集合完全有可能存在着非双射的映射，不能认为存在着非双射的映射，就不能存在双射对应。这样认为是严重的逻辑错误。

李先生说【设N={1，2，3，……}，N1={0，1，2，3，……}，两个省略号里面的元素完全相同，当然可以互相一一对应，这些元素一一对应以后，剩下的元素数目不一样，无论怎么排都不可能一一对应，】就犯了这样的错误。在映射y=x中，N1中的0没有原象，所以y=x不是双射，但是存在y=x-1这个映射就是双射。所以N同N1就是一一对应的。不能认为存在着非双射的映射，就不能存在其它双射的映射了。

关于无限旅馆也类似，当无限旅客集合是N同旅店房间集合N一一对应时，可以住下。当旅客集合增至N1时，同N仍存在另一映射是双射，仍可以同房间集合N一一对应，仍可住下。这同有限旅馆完全不同。这里没有任何矛盾。反映了无限集合的特别性质。

六，要认识无限集合有不同特性，有些有限集合不适合的规律，对无限集合却是成立的。

李先生对此缺乏认识。他说【无限集合是从有限集合发展出来的，只是当有限集合不能容纳足够多的元素时，才提出了无限集合这个概念。因而没有任何理由任何可以把有无限集合和有限集合截然分开:在有限集合中截然不能成立的命题，如果没有十分充足的理由和绝对经得起反复推敲的证明，在无限集合也是不成立的。】

关键是对于【有十分充足的理由和绝对经得起反复推敲的证明】的事实，李先生并不承认。关键的一条就是对任何有限集合，它不能同它的任何真子集一一对应，但存在无限集它同它的某真子集一一对应。对此我已提供多次的证明，李先生对证明提不出任何反驳的理由，但就是不承认这一事实。不承认按【一一对应】的定义进行的证明，而是坚持他的主观想像【集合同它的真子集元素数目不等】和【一一对应必须元素数目相等】的矛盾命题来胡搅蛮缠。

李先生用来论证的文章《一一对应的验算》一文，就是坚持一一对应的集合【元素数目必须严格一致】，和【任何无限集合的元素数目都比其真子集多】，就是用这个他的不切实际的幻想，主观的矛盾的错误论断来论证的。

七，树立現代实无穷覌的重要性。

当然还要谈到树立現代实无穷覌的重要性。集合论是以实无穷覌为基础的理论。对无穷集合，仅凭人的感覌是不能完全感观到的，人们不可能同时感覌到无穷集合的所有元素，不可能把无穷集合所有元素一个个地呈現在你面前。给出所有自然数集合，不可能把所有自然数都呈现在你面前。给出无穷小数，不可能把它的无穷个位的值都算出来给你看。但是可以通过思维和逻辑，可以在思维中构造所有自然数的集合，可以构造无穷小数，使用逻辑推理的方法来研究无穷集合，这就是現代实无穷覌，我们给出无穷集合，并不需要把它的元素全部同时给出来，只要给出一种方法，从逻辑上推理证明，此集合的任何元素都可由此方法给出。那么给出了这个方法，就等于给出了这个无穷集。例如我们说自然数是初始数经有穷次的后继运算得到数。给出了此方法就等于给出了所有自然数的集合。再例如无理数π，我们並不要求给出所有无穷个位的值，但如能给出一个方法，可以对任何n求出π的第n位的值来，就说给出了这个无穷小数π了。这就是实无穷观。

实无穷覌是集合论的基础。不树立实无穷覌，任何集合论的理论都接受不了。这就是李先生的現状。李先生实际是要否定整个集合论。李先生的这些观点並不是什么新的创造。早在康托尔提出集合论时，就有人错误地反对他的实无穷观。李先生完全继承了这些外国人的错误覌点，直到現在还在反对这己早被业界公认的現代实无穷覌，是外国人的错误老掉重弹。

八。最后还要指出，李先生在文章的最后所说的他关于实数的一些论点是完全错误的。

实数理论是一个成熟的完整的理论。对于实数的连续性，即无理数的定义有一系列定义。包括无穷不循环小数，区间套，戴德金分割，柯西数列等。最后证明这些定义都是等价的。都可以证明每个无理数是确切唯一的存在的。李先生的论断说【一般无理数的定义都成问题】是完全错误的。他文章对【闭区间套定理真的证明了套内存在唯一的共同点】以及戴德金分割定义的无理数的唯一性的貭疑毫无根据，完全错误，另外对实数的稠密性和没有相邻点的事实缺乏最基本的认识，讨论什么【两点间的最短距离】，还得出什么【有理数之间的最短距离无限倍于无理数之间、或无理数与有理数之间的最短距离。】的荒谬结论，这一切都是错误的。

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