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龚明物理自编习题(3)
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- 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣.
- 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题. 如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了.
- 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献.
龚明
题目:
我们的统计物理学的基础是熵(entropy)， 其基本定义为Gibbs entropy, $S = -K \sum_i p_i \log(p_i)$. 这个定义后来用在量子力学和信息论中. 统计力学的基础是熵最大原理。 如果我们保留熵最大原理，但是修改它的基本定义， 那么会发生什么事情?
一个有趣的尝试，假设$S = k \sum_i {p_i^a - 1\over a}$, 其中a为常数。 那么回答下面的基本问题.
- 这个定义是否破坏了热力学第二定律?
- 请推导全同粒子的分布函数， 并且讨论问题3和4. 证明当$a \rightarrow 0$时回到我们已知的结果.
- 对于Fermi子，是否在T = 0的时候存在Fermi面?
- 对于Bose子，是否还有可能存在Bose-Einstein凝聚?
- 对于普通的气体，讨论在新熵下的状态方程，它还会是$PV = nRT$吗?
- 证明修改过的熵是符合物理的，也就是Gibbs entropy有的基本数学性质，新entropy也有，所以从逻辑上来说，新entropy是可能存在的.
- 在这些新定义下，温度是否可以小于0?
背景知识: 熵的定义并非唯一， 不能因为所有课本采用$p\log p$的形式，就否认其他entropy的存在. 这些新的entropy可能在物理以外的其他领域找到应用，比如股票市场，投资学，生态学，生物学等等. 如何把统计物理的基本知识用在这些新的领域，是现在依旧在探索的前沿方向.
解题思路: 完全模仿统计力学课本的讨论.
参考资料: 参考周涛的博客: http://blog.sciencenet.cn/?3075. 周涛在把统计方法用于其它领域做了很多工作，很了不起.
意义: 希望学生不要在学习了课本知识的同时，被课本知识的框框束缚住. 这可以说是95%以上的学生现在存在的问题. 我本人曾经就这个问题和我的上课老师讨论过， 但是被鄙视了，因为我的老师认为这是没有任何意义的， 因为物理学证明分布就是Gibbs形式. 所以老师也存在类似的问题，这是要不得的, 这种定势思维大大限制了我们的创造力.
https://blog.sciencenet.cn/blog-709494-625811.html
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