我之前写过几篇潮汐的科普，并且计算了潮汐高度随角度的变化。但这个计算忽略了一项。因此，我重新计算一下。顺便再从概念上讲讲。

很多人以为月亮在头顶上时，它对地面引力最大，于是把水吸起来了，好像是吸尘器吸篮球上的水一样，但这是一个错误的图像。实际上，地球是一个自由物体，在引力中相当于自由落体，在上面是感觉不到外界（如太阳与月亮）引力的。这跟神舟飞船上的宇航员感觉不到地球引力是同样的道理。但感觉不到引力是一个近似。因为地球引力是不均匀的，宇航员身体不同部分受到的地球引力有细微的差别，如果宇航员头朝地球，头离地球近，头受到的地球引力比脚受到的引力略大，这个力的差别对宇航员来说好像有力在拉伸。这就是所谓潮汐力。由于人的长度远远小于地球轨道半径，这个力差非常微小，人感觉不到。如果人往黑洞里掉，开始也会毫无感觉，自由落体完全失重，但当靠近黑洞中心时，头脚受到引力差很大，或者说潮汐力很大，就会受不了了。

$\frac{\vec{f}}{Gm} = \frac{\vec{D} -\vec{r}}{|\vec{D} -\vec{r}|^3} - \frac{1}{D^2} \hat{x} = \frac{1}{D^2 - 2Dr \cos\theta +r^2}(\cos\phi \hat{x} - \sin\phi\hat{y}) - \frac{1}{D^2} \hat{x}$

当OQ距离 D 远远大于 r，我们近似有

$\sin\phi \approx \frac{r \sin\theta}{D}; \hspace{0.5cm} \cos\phi \approx 1 - \frac{r^2\sin^2\theta}{2D^2}$

$\frac{\vec{f}(\vec{r})}{Gm} =\frac{r}{D^3} \left(2\cos\theta \hat{x} - \sin\theta\hat{y}\right)$

$\frac{-V(\vec{r})}{Gm} =\frac{r^2}{D^3} \left( \cos^2\theta - \frac{1}{2}\sin^2\theta\right)= \frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right)$

或者说

$V(\vec{r}) = -Gm\frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right)$

潮汐高度 H 等于 上述势的地表值除以 重力加速度， 利用 $g = GM_e/R^2$
(M_e 为地球质量）。

$H_{tide}(\vec{R}) = - V(\vec{R})/g = \frac{m R^4}{4M_e D^3} (3\cos 2\theta+1)$

其中是造成潮汐的天体质量，为地球质量，为地球半径，为地球到天体的距离，是该地点与地心的连线与地心--天体连线的夹角。由此公式计算出月球产生的最大潮汐高度为40厘米，太阳引发的潮汐高度为16厘米。

上面的公式里有个精确的整数2。这意味着每天要涨两次潮。一次是正对月亮，明月当空，一次是当月亮在地球的背面。

补充：