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飞机的升力计算 - 牛顿第二定律与纳维尔-斯托克斯方程 精选

已有 4864 次阅读 2022-5-17 12:40 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记

昨天在抖音上看到一段科普视频,说是飞机机翼产生的升力不能用空气被机翼转向下方而用牛顿定律简单解释,也不能用伯努利原理简单解释,必须用 Navier–Stokes 方程,考虑空气的粘滞力,云云。其给出的理由是,直接用伯努利原理,不能解释为什么机翼上方的空气流得快;用牛顿定律计算出来,升力正比于攻角正弦的平方,攻角很小时,这是个二阶小量,不足以提供足够的升力。还说乔治-凯利给出的升力公式里,升力正比于攻角的正弦,这才是对的。莱特兄弟之所以成功,就是因为用了正确的升力公式。其结论是,科学里很多东西无法给出简单的解释,外行只能看看热闹。这个问题引起了我强烈的兴趣,在网上搜索,发现 YouTube 上英国物理教授 Michael Merrifield 也持类似的观点。


但这种说法当然不能令人信服。牛顿定律是第一原理。伯努利原理与 Navier–Stokes 方程都是从牛顿定律推导出来,是牛顿方程的直接运用。空气的粘滞系数也可以通过刚球分子碰撞的平均自由程推导。如果用牛顿定律做出的解释不对,只能是在牛顿定律的运用中出现了错误或者遗漏。牛顿第二定律就是说物体受到的力等于其动量变化率。空气压力在物理里面那都是动量的传递。对于飞行中的飞机,这个系统就是飞机与飞机碰撞的空气分子,要这样一个系统在重力下保持高度,必须有对应的动量传递,具体来说必须有物体向下运动,带走重力产生的冲量。这种动量的守恒,是不可抗拒的基本物理规律,不可能影响我们基于第一原理的分析。用牛顿定律肯定能够解释飞机的升力。


先让我们回顾通常的牛顿力学模型。在这个水平气流遇到机翼向下偏转而产生升力的模型里,设机翼攻角 (这是水平飞行时机翼与水平方向的角度)为 $\theta$, 飞机速度为 v, 设空气遇到机翼后沿着机翼下行,单位时间内撞到机翼上的空气质量为 $\rho A \sin \theta$ (A 为机翼面积,\rho 为空气密度), 而空气速度转向后其垂直方向分量从0变为 $v \sin\theta$。根据牛顿第二定律,升力就是 $dp/dt = \rho A v \sin\theta v \sin\theta = \rho A \sin^2\theta\ v^2$。


且让我们用这个公式对莱特兄弟的飞机计算其“牛顿理论”升力。这架飞机的机翼总面积约 47 平方米(这款飞机有上下两个机翼、翼展约12.2米、宽2米),速度 54 公里每小时,攻角 5 度。空气密度  1.225 kg/m^3 。5度正弦约为 0.0872 。带入公式,升力为 F = 1.225 * 47 * (54*1000/3600)^2 * sin^2 (5*pi/180) ~ 12954 * 0.0872*0.087 ~ 98 (N)。计算出来升力只有 10 公斤,而莱特兄弟的飞机重量有300多公斤。差了30多倍。确实,上面带着攻角正弦平方的公式无法解释莱特兄弟的飞行。(莱特兄弟飞机数据 参见 https://www.thewrightbrothersusa.com/products/1903-flyer-full-scale-replica https://wrightstories.com/wright-brothers-get-a-lift/,https://corescholar.libraries.wright.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1001&context=following https://en.wikipedia.org/wiki/Wright_Flyer, http://www.wrightflyer.org/wp-content/uploads/2012/10/Flight-Mechanics-In-Modern-Terms.pdf。


那么上面的解释问题在哪呢?如果用空气流体加上牛顿力学不能解释,这可能是因为我们还没有真正使用第一原理。空气是分子组成,所以我们得在气流之上加上分子理论。假设空气中一个质量为 m 的分子以 水平速度 V 向机翼正面飞来,而机翼速度为 v ,该分子相对于机翼的速度为 V + v。按照弹性刚球模型,该分子在机翼上以与机翼成$\phi$角度入射,反射获得垂直方向的动量变化为$m (V+v) \sin(2\phi) $。同时我们考虑另一个空气分子以水平速度 V 朝机翼背面飞来,该分子相对于机翼的速度为 V - v,在机翼上反弹之后,其动量变化为 $m (-V+v) \sin(2\phi) $。(后一种情况要发生反弹必须有一个条件,那就是分子水平速度必须大于机翼速度,否则它就追不上机翼。)两者之和为 $2 m v \sin(2\phi) $。简单的计算表明,即便是考虑分子速度不是水平的情况,地面参考系速度相反的机翼两面的一对分子在机翼上反弹之后产生的垂直动量传递也是  $2 m v \sin(2\phi) $,也就是分子因气流整体运动的动量的两倍乘以反射角二倍的正弦。因此,即使我们考虑分子之间的碰撞发生动量传递分散,总的结果也不会变。


为什么上面的计算里,我不用 攻角$\theta$表示分子运动与反弹面的夹角$\phi$呢?这是我考虑到在分子级的微观角度,机翼不会是平的,而是一个个的小鼓包。或者说,从微观的观点,攻角是0到90度之间连续变化的。在飞行速度 v 远小于分子平均速度时,入射分子数量的角分布可以近似为均匀的,因此升力 F 为


$F = 2 \rho A v \sin\theta  \int_0^{\pi/2} \frac{2}{\pi} 2 v\sin(2\phi) d\phi = \frac{8}{\pi}  \rho A v^2\sin\theta$


用这个公式计算莱特兄弟飞机的升力为:


F =  8* 1.225 * 47 * (54*1000/3600)^2 * sin (5*pi/180) /3.14 ~ 2876(牛顿)


这个数值已经非常接近莱特兄弟第一次成功试飞 3300 牛顿的起飞重量了。其中的差异也许可以用攻角与的差别解释,莱特兄弟飞机的5度攻角只是一个大概估计。上面公式中如果攻角为6度,那么升力就可以达到 8* 1.225 * 47 * (54*1000/3600)^2 * sin (6*pi/180) /3.14  ~ 3449 牛顿,就飞起来了。另外,我们的分析对飞机机翼背面的贡献的计算也忽略了相当一部分。


至此,我们应该恢复了经典力学下对第一原理的信心。





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