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再论 1+2+3+... = -1/12 自然界遵循 analytic continuation
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在理论物理中，经常需要用到 1+2+3+... = -1/12 这样看似不可理解的计算（所有正整数的和是 -1/12)。欧拉很早就得出了这个结果，但是为什么他的推导过程能够得出这个结果是一个问题。
2012年初，我在万维教育论坛提出这个问题，参见 http://bbs.creaders.net/education/bbsviewer.php?trd_id=705463。我写道：【有網友很幼稚的說，自然數相加，怎麼得出負數？？？但有網友設計了其他的方法進行組合，結果卻是錯的。 為什麼歐拉的這個結果是對的？ 這要涉及到analytic continuation的概念。】
之后，我把同一个问题贴在了珍珠湾 http://zhenzhubay.com/upload/blog-2-473.html 。
如果我写一个更看起来更离谱的式子： 1+2+4+8+ .... = 1/(1-2) = -1，学过 analytic continuation 的 应该知道这是在做什么。但是光用 analytic continuation 的概念还是不能接解释为什么欧拉的推导正确。
这个问题去年在网上似乎引发了一场激烈的争论，卷入了不少理论物理学家与数学家，参见 http://physicsbuzz.physicscentral.com/2014/01/does-1234-112.html，包括下面的评论。
对于纯粹数学来说，这个问题似乎只是一个游戏。欧拉、黎曼、Srinivasa Ramanujan都得出1+2+3...=-1/12，但Ramanujan怀疑自己会不会被送进精神病院。
对于物理来说，却完全不同，物理理论要能够给出与实验测量吻合的结果。我们在计算中经常会遇到类似的明显发散的求和。最简单的例子是两块平行金属板之间真空场能量，它就是正比于所有正整数的和， 1+2+3+...。如果简单的思维，这是无穷大。但是另外一方面，我们知道结果肯定是有限的。为了得到这个有限的结果，我们第一步采取所谓 regularization 方法。其中一招就是使用 analytic continuation。从物理上，系统不是无限的，因此所有计算中可以加入一个在无穷远处趋于零的指数衰减因子，这样的指数衰减往往能够驯服本来发散的级数。 令人惊奇的是，用各种不同的regularization 方法计算出来，1+2+3+... 都是 -1/12。前面这个负号表明两块金属板之间存在吸引力。
无论是重整化中常用的 Zeta function regularization 还是路径积分的 Wick rotation，都离不开 analytic continuation。对于理论物理来说，这个数学计算最终给出了与实验吻合的结果，这就够了。为什么严格正确，似乎应该留给专门搞数学的去做。但目前为止，很多物理学依赖的数学计算（如路径积分与多维量子场论），仍然没能被置于严格的数学基础上。
看来，我提出的问题暂时得不到答案了。也许，我们只能说， 自然界遵循 analytic continuation 。
PS： analytic continuation 属于大学二年级本科数学内容
https://blog.sciencenet.cn/blog-684007-875465.html
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