昨天看了这篇《论文审稿之殇：能仅仅依靠“直觉”来否定物理学论文吗？》，注意到作者陶勇并非物理专业，而是搞经济学的。陶老师能把相关的数学物理知识掌握到这个程度，相当不容易。理论物理领域聚集了人类历史上最伟大的思想家，从牛顿到爱因斯坦等等。杨振宁以他的非阿贝尔规范场理论也跻身于这一行列。现代科学的基本特征是数学化。不是物理专业的，可能都不明白理论物理意味着什么。经济专业的对物理科学如此热情与执着，令人尊重。

Edward Witten 曾被认为当今最聪明的理论物理学家。他大学是历史专业，然后学了一年经济，后来转到数学，最后在普林斯顿拿了理论物理博士。Witten 的主要成就之一是发展了基于 Chern-Simons 场的拓扑量子场论。他用费曼路径积分获得的结果后来被数学家们严格化了。Witten 因此获得了数学里的"诺贝尔奖" -- Fields Medal 。Chern-Simons 场满足规范不变的原理。但在规范变换下，会出现一个边界项。这跟 YANG-MILLS场不同。在任意维空间都可以构造 CHERN-SIMONS场，但是高于 2+1 维空时，会出现三次项。

量子霍尔系统的 空间是二维的。2+1 维CHERN-SIMONS 场被成功用于量子霍尔效应，解释其拓扑效应。值得注意的是，在第一原理上，固体物理就是解决大量粒子的库伦作用薛定谔方程在有限温度下的统计力学问题。所以，CHERN-SIMONS 场应该可以从基本的物理方程推导出来。在量子霍尔效应里，这是能够做到的。

陶老师在电磁场中加入  “3D Chern-Simons”项，并对结果进行了分析。论文我看了前面几页。我也看了两位评审人的意见。跟第一位评审人一样，我开始以为这个 3D 指两维空间，加上一维虚时间 -- 时间为虚数。物理的一个假定就是自然界遵循 analytic continuation。搞物理的会心安理得的算出 1+2+3+... = -1/12 就是这个道理 。而把时间变成虚数，再转回来，结果是一样的，这在物理上叫着  Wick rotation。第一位评审说 【the analytic continuation from Lorentzian to Euclidean signature can lead...hardly to a physical effect.】，应该就是指 这一点。第二位评审看得似乎更为仔细，他说【assume that the three dimensions are those of space, and time is being ignored】。

那么这个 3D CHERN-SIMONS 项到底是什么呢？从陶老师的文中对方程10的解释看，有三个空间坐标 $(r, phi, z)$，所以 A 场的三个下标都是空间。但根据后面有源方程 12，应该是有时间的。第二审稿人说，"Perhaps I am just confused", “ this needs to be clarified”。如果一个理论里没有时间，都不能称为动力学系统了。

另外我看了一下陶老师论文的附录A 对方程 6 的推导。其中提到用 "Coulomb gauge $partial_{mu} A^{mu}=0$”。这个规范选择一般称为 Lorenz 规范。库伦规范指 A 场的空间散度为零。虽然 Chern-Simons 场是规范不变的，但规范变换下会出现边界项。所以，陶老师这个在 Lorenz 规范下的推导应该说是存在瑕疵的。

鉴于此，我试图进行推导，过程如下。直接在计算机上敲（有时在计算机上推导比手写看得更清楚），如有错漏，请大家指正。主要是用到这个显然的恒等式 (重复下标求和）：

$epsilon_{iab}epsilon^{icd} = delta_a^cdelta_b^d - delta_a^d delta_b^c$

$epsilon_{ijk}$ 是一个全反对称张量， 下标为012时等于1，交换两个下标数值变负。张量是什么，为什么这个东东是个张量，这是一个相当需要解释的数学问题。我对陶老师论文中方程6推导如下，一步不漏，所用变量符号与论文相同。注意，我没有用到任何规范选择。

$partial_{mu} F^{munu} - frac{sigma}{2} epsilon^{nualphabeta}F_{alphabeta}=0\ B^{nu} = frac{1}{2} epsilon^{nualphabeta}F_{alphabeta}\ partial_{mu} F^{munu} = partial_{mu}g^{mu a}g^{nu b}F_{ab}$

$ epsilon^{cde}epsilon_{cab} F_{de} = (delta_d^adelta^e_b-delta_d^bdelta^e_a) F_{de} = 2F_{ab}$

$partial_{mu} F^{munu} =frac{1}{2} partial_{mu}g^{mu a}g^{nu b} epsilon^{cde}epsilon_{cab} F_{de} =partial_{mu}g^{mu a}g^{nu b} epsilon_{cab} B^{c}\ = partial_{mu}g^{mu a}g^{nu b} epsilon_{cab} g^{cf}B_f=partial_{mu}epsilon^{fmunu}B_f$

$B^nu= g^{nu f} B_f$

$(partial_{mu} epsilon^{fmunu}-sigma g^{nu f}) B_f=0\ (partial^aepsilon_{banu} - sigma g_{bnu})(partial_{mu} epsilon^{fmunu}-sigma g^{nu f}) B_f=0$

$[partial^{a}partial_{mu} (delta^f_bdelta^{mu}_a-delta^f_adelta^{mu}_ b)+sigma^2 delta^{f}_{b}]B_f=0$

$partial^{a}partial_{a} B_b - partial^{a}partial_b B_a + sigma^2 B_b=0\ $

$B^{nu} = frac{1}{2} epsilon^{nualphabeta}F_{alphabeta}\ partial_nu B^{nu} =frac{1}{2} epsilon^{nualphabeta} partial_nu [partial_alpha A_beta - partial_beta A_alpha ]=0$

$ (partial_{mu}partial^{mu} + sigma^2 )B_nu=0$

QED. (YDX 2016/12/30)

学物理的对上面的那个$sigma^2$项应该很敏感。在2+1空时下，它是一个质量项 -- 光子获得了质量。这跟BCS超导态下自发对称破却的希格斯机制不同。

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