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刻舟求鱼讨论大总结
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《 刻舟求鱼 (配图）》这篇2016年底的博文在科学网引发了热烈的讨论，到2017年元旦节日大家还在切磋。参加实质讨论的博主包括（但不限于）马红孺 尤明庆张海涛姬扬 （中国科学院半导体研究所研究员），文克玲（清华大学物理系），王虹宇（鞍山师范学院教授），张云 （湖南第一师范讲师），应行仁 （系统科学与系统工程），徐晓 ，李铭（凝聚态物理），温海龙（保定市农业科学研究所）（这个名单顺序任意收集），真可谓专家云集、盛况空前。国外也有物理专业人士参与评论。这么多对物理力学感兴趣的学者聚集在一起，真得感谢科学网给我们提供了这个平台。我应该是对相关讨论进展情况比较熟悉的，所以我做一个总结。
一. 刻舟求鱼问题及定性物理图像
一个人在小船上从船尾跳到船头，并且设水对船的阻力正比于船的速度，忽略空气阻力，船最后停在何处？这是刻舟求鱼的问题描述。
人在空中时，船往后退，但是由于期间船受到阻力，动量减少，人落到船头后，船又往前走。这是一个定性的物理图像。
问题是，船这个后退再前进的过程中到底走了多远，光从上面这个物理图像是无法定量判断的，需要根据外力运用牛顿力学进行计算。在我们的问题里，船受到的阻力为 $f = - k\ v_b$ , k 为常数， $v_b$ 为船速。伽利略曾说自然的语言是数学，有了这个给定的力的形式，下面的任务是运用 F=ma 算出结果。
有的同学说，实际水阻力形式很复杂，有无穷多未知因素，$f = - k v_b$ 不成立；人从后跳到前面，船吃水深度变化，阻力系数不同，等等。我的回应是，如果会算这个问题就算，先走再跑。我在 《刻舟求鱼之实验验证 (配图）》讲了，问题这么写只是为了生动点。薛定谔猫是为了生动，没有人会以为一只整猫会有量子效应。我可以把船造成完美的流线型，船远远 重于人，固定在水平导轨上， 船上下不能动，人用滚动的重球代替，等等。所以，纠缠题目本身没有意义。你如果说大鱼游过来把小船顶翻了，或者说船速太快，阻力不确定等等，还不如干脆老实承认不会用牛顿第二定律计算这个给定问题的结果。
牛顿早就发现在低速时，液体的粘滞阻力正比于速度。这种阻力正比于速度的关系在物理里经常出现。朗之万方程与这个问题里遇到的方程非常类似，但加了个随机的外力。船上蹦蹦跳跳只是娱乐，如果能对解决其他物理问题提供基础，意义就来了。所以，这是一个有现实物理意义的问题。
二. 刻舟求鱼的牛顿第二定律
知道外力，知道牛顿第二定律，我们的任务就是正确运用了。牛顿在300多年前告诉我们，系统的动量变化（率）等于外力。令人与船的总动量为 $ p = p_{ren} + p_{boat} $ ，根据 Newton's second law：
$\frac{dp}{dt} = -k\ v_b = -k \frac{d x_b}{dt} $
其中$x_b (t)$ 是船的坐标。因此，
$dp = - k\ dx_b$ .
两边积分，得出对于任意时间 t,
$p(t) - p (0) = -k (x_b(t) - x_b(0)) $
初始条件是，时间为0， 船坐标 $x_b(0) =0$。当 k 不为零，$x_b(t) = - p(t)/k$。
最终人船静止， $p=0$。因此，最终 $x_b =0$. 也就是说船回到原处。
从这个推导可以看出，其实这个最终结果与人的运动过程无关，是跑也好，跳也好，爬也好，来回兜圈子也好，最终船都会回到原处。这包括人跳到船头又跳回船尾的情况。当然，既然从后面跳到前面船最终复位，再跳回来也会复位。
对牛顿第二定律不熟悉的同学可能对上面的方程存在疑问，想把人、船单独考虑，当然结果是一样的。设人对船的作用力是 $F_{rb}(t)$, 那么根据牛顿第三定律，船对人的作用力 $F_{br}(t) = - F_{rb} (t) $，我们列出人与船的方程：
人：$m_{r} \frac{dv_r}{dt} = F_{br} (t) $
船： $m_b \frac{dv_b} {dt} = F_{rb} (t) - k \frac{dx_b}{dt}$
初始条件： $v_b(0) = v_r (0) =0, x_b(0)=0$ .
对上面的方程对时间积分，我们有得出：
$m_{r} v_r(t) = \int_0^t F_{br}(t) dt$,
$m_b v_b(t) = \int_0^t F_{rb}(t) dt - k x_b(t) $
方程想加，并利用 $F_{br}(t) = - F_{rb} (t) $，得出：
$m_r v_r(t) + m_b v_b(t) = -k\ x_b(t)$ .
最终人船静止，上面方程左边为零，得出
$ k x_b=0$.
k 不为零，则 $x_b=0$。
注意，上面人-船之间的相互作用过程（只要最终人船合一）完全是任意的，狄拉克$\delta$函数式瞬间起跳着船也好，弹簧牵着慢慢上升降落也罢，最终结果都是船回原处。
三. 瞬间起跳降落的计算
上面的结果对于任意过程都是适用的，但是我们并不知道船位置与时间的关系。这如同中学物理里计算一个球从一个无摩擦弯曲轨道上滑下，你能根据从高度计算球到达某一点的速度，但不知道达到这一点的时间。对于人+船的问题，要计算船的位置随时间的变化，我们必须知道人船之间相互作用的形式。最简单的形式就是瞬间起跳，瞬间着船。读者可能说，瞬间起跳，速度在零时间内变成有限，加速度无穷大，力无穷大，而人腿肌肉产生的力量是有限的，不可能。那么，把人装在弹射器里弹出去吧，要是加速大太大，人扛不住，换上只 chicken 好了。或者，这个人是钢筋铁骨、脚上装着强力弹簧。记住，这个问题说人在船上跳的问题只是为了生动。如果还说，再怎样力也不是无限大。我们只能说，你可以用一个更为实际的模型算。为了简化计算起见，正如Apple79 博士在黄秀清博文下首次指出，我们假定冲量是狄拉克 delta 函数 。
瞬时起跳着陆的计算是简单的两步代数。计算结果在 《刻舟求鱼之蛮力计算 (配图）》(T为滞空时间，t 为着船后时间）。
$x_b(t) = - \frac{m_b V_0}{k} (1- e^{-kT/m_b} ) e^{-k\ t/(m_b+m_r)} $
正如 apple79 博士在评论中指出，上面的结果只有一个时间尺度 M/k。这是问题中唯一可以用于判断时间长短的量。
这个计算里用到了起跳前后瞬间、着船前后瞬间的动量守恒。这是一个显然的事情。系统动量的变化等于 外力的冲量。作用时间为零，外力（船受到的阻力）有限，因此外力冲量为零。
$m_b \frac{d v_b}{dt} = I \delta(t - T)$,
$m_r \frac{d v_r}{dt} = -I \delta(t - T) -k v_b $
从 $t = T -\epsilon$, 到 $t=T +\epsilon$ 积分, 取 $\lim_{\epsilon \to 0}$，
$m_b v_b(T+\epsilon) - m_b v_b (T-\epsilon) = I $,
$m_r v_r(T+\epsilon) - m_r v_r (T-\epsilon) = -I $.
因此，$m_b v_b(T+\epsilon) + m_r v_r(T+\epsilon) = m_b v_b(T-\epsilon) + m_r v_r(T-\epsilon) $。
四. 目前的状况总结
根据我的综合，目前科学网马红孺、张海涛、尤明庆、李铭等先后接受了上面（二）的一般性推导与结果。姬扬 、文克玲、王虹宇、张云 部分或有保留地认可了上面（三）的特殊结果。姬扬 构造了一个变阻力系数模型并进行了分析。张云使用持续冲力而不是瞬间作用计算，开始似乎得到船不能复位的结果。后来重新计算，发现漏掉了人船作用期间的船运动的距离。
徐晓经过多次计算，最终得出（三）的结果，但他分析认为如果考虑有限作用时间，则船不能复位。从我们上面（二）看出，如果结果没有复位，肯定计算错误。
黄秀清似乎不认可上面的全部结果，但未给出任何计算。黄秀清提出一个“新颖”观点，认为需要考虑水对船的的“静摩擦力”。
至此，科学网物理专业的人士除黄秀清外基本达成一致。
（各位观点如果与上面不同，请指出）
补充链接
徐晓的回应：《刻舟：文字讲解岳东晓博士的基本错误》
李铭 ： 岳东晓《刻舟求鱼》的讨论该结束了
https://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1024834.html
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